Том 207 (2022)

В работе изучаются вопросы существования и принадлежности к заданному функциональному классу решений уравнений Пуассона на некомпактном римановом многообразии M без края. Для описания асимптотического поведения решения вводится понятие φ-эквивалентности на множестве непрерывных на римановом многообразии функций и устанавливается взаимосвязь между разрешимостью краевых задач для уравнений Пуассона на многообразии M и вне некоторого компактного подмножества B ⊂ M с тем же ростом «на бесконечности». При этом понятие φ-эквивалентности непрерывных функций на M позволяет оценить скорость асимптотической сходимости решений краевой и внешней краевой задач к граничным данным.

Рассмотрен специальный класс систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Рассматриваемые системы имеют дивергентный тип, инвариантны относительно трансляций времени и пространства, а также преобразуется ковариантным образом при преобразованиях группы вращений пространства. Приведено описание класса нелинейных дифференциальных операторов первого порядка, соответствующих системам рассматриваемого класса. Доказана теорема об эквивалентности понятий гиперболичности и гиперболичности по Фридрихсу.

Метод разделения переменных в задачах для линейно вырождающегося уравнения $u_{xx}^{\text{'}\text{'}}+y{u}_{yy}^{\text{'}\text{'}}+c\left(y\right)u_y^{\text{'}}-a\left(x\right)u=f\left(x\mathrm{,}y\right)$ в прямоугольнике приводит к задачам для обыкновенного сингулярно возмущённого дифференциального уравнения с вырождением $y{Y}^{\text{'}\text{'}}+c\left(y\right)Y^{\text{'}}-({\pi }^2{k}^2+a(y\left)\right)Y=f_k\left(y\right),$$k\in \mathrm{\mathbb{N}}$. В данной работе исследуется асимптотическое поведение решения данного уравнения с заданными начальными данными в точке 0 и нулевой правой частью при k → +∞. Главный член асимптотики выписывается в квадратурах.

Работа посвящена получению коэффициентных условий, обеспечивающих равносходимость и чезаровскую равносуммируемость почти всюду кратного ортогонального ряда при его суммировании по двум различным системам вложенных множеств, покрывающих целочисленную решётку арифметического пространства.

Рассматривается вариант системы типа «реакция-диффузия», который допускает интерпретацию в качестве математической модели бизнес-цикла Кейнса с учетом пространственных факторов. Система рассматривается вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Для такой нелинейной краевой задачи изучены бифуркации в окрестности пространственно однородного состояния равновесия в случае, близком к критическому, нулевого и пары чисто мнимых собственных значений спектра устойчивости. Анализ бифуркаций позволил получить достаточные условия существования и устойчивости пространственно однородного и пространственно неоднородного циклов, а также пространственно неоднородного состояния равновесия. Анализ поставленной задачи опирался на использовании и развитие таких методов теории бесконечномерных динамических систем как метод интегральных (инвариантных) многообразий и нормальных форм. Их использование в сочетании с асимптотическими методами анализа позволило получить асимптотические формулы для периодических решений и неоднородных состояний равновесия. Для таких решений дан ответ об их устойчивости.

Отмечено, что добавление диффузионных членов к обыкновенным дифференциальным уравнениям (например, к логистическим) может в некоторых случаях улучшить (ослабить) достаточные условия устойчивости стационарного решения. Приведены примеры.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности —принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП)—в выпуклой задаче оптимального управления для параболического уравнения с операторным ограничением-равенством, а также с распределенным, начальным и граничным управлениями. Получение регуляризованных ПЛ и ПМП основано на использовании двух параметров регуляризации. Регуляризованные ПЛ и ПМП формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений, состоящих из минималей ее регулярной функции Лагранжа.