Том 509, № 1 (2023)

Получены двусторонние оценки александровского \(n\)-поперечника компакта периодических бесконечно гладких функций, ограниченно вложенного в пространство непрерывных на единичной окружности функций.

Впервые бикомпактные схемы обобщаются на нестационарные уравнения Навье–Стокса для сжимаемой теплопроводной жидкости. Предлагаемые схемы обладают аппроксимацией четвертого порядка по пространству и второго порядка по времени, абсолютно устойчивы (в приближении замороженных коэффициентов), консервативны, экономичны. Одна из новых схем испытывается на нескольких двумерных тестовых задачах. Показывается, что при сгущении сетки она сходится с повышенным третьим порядком. Проводится сравнение со схемой WENO5-MR. Демонстрируется превосходство выбранной бикомпактной схемы в разрешении вихрей и ударных волн, а также их взаимодействия.

Работа посвящена изучению предельного поведения \(j\)-хроматических чисел случайного k-однородного гиперграфа в биномиальной модели \(H(n,k,p)\). Рассматривается разреженный случай, когда среднее число ребер является линейной функцией от числа вершин \(n\), т.е. равно \(cn\), где \(c > 0\) не зависит от \(n\). Доказано, что при всех достаточно больших значениях \(c\) величина \(j\)-хроматического числа \(H(n,k,p)\) с вероятностью, стремящейся к 1, концентрируется в одном или двух соседних значениях.

В работе исследуется значение числа слабого насыщения случайного графа. Мы доказали стабильность числа слабого насыщения для некоторых паттерн-графов, а также доказали асимптотическую стабильность для всех паттерн-графов.

Let A ≥ m_A > 0 be a closed positive definite symmetric operator in a Hilbert space ℌ, let \({{\hat {A}}_{F}}\) and \({{\hat {A}}_{K}}\) be its Friedrichs and Krein extensions, and let _∞ be the ideal of compact operators in ℌ. The following problem has been posed by M.S. Birman: Is the implication A^–1 ∈ G_∞ ⇒ (\({{\hat {A}}_{F}}\) )^–1 ∈ G_∞(ℌ) holds true or not? It turns out that under condition A^–1 ∈ G_∞ the spectrum of Friedrichs extension \({{\hat {A}}_{F}}\) might be of arbitrary nature. This gives a complete negative solution to the Birman problem.Let \(\hat {A}_{K}^{'}\) be the reduced Krein extension. It is shown that certain spectral properties of the operators (\({{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}}\) + \(\hat {A}_{K}^{'}\))^–1 and P₁(I + A)^–1 are close. For instance, these operators belong to a symmetrically normed ideal G, say are compact, only simultaneously. Moreover, it turns out that under a certain additional condition the eigenvalues of these operators have the same asymptotic.Besides we complete certain investigations by Birman and Grubb regarding the equivalence of semiboubdedness property of selfadjoint extensions of A and the corresponding boundary operators.

Для системы уравнений электродинамики с нелинейной проводимостью рассматривается обратная задача об определении переменного коэффициента проводимости. Предполагается, что искомый коэффициент является гладкой функцией пространственных переменных, финитной в \({{\mathbb{R}}^{3}}\). Из однородного пространства на неоднородность падает плоская волна с резким фронтом, бегущая в некотором направлении \(\nu \). Направление является параметром задачи. В качестве информации для решения обратной задачи задается модуль вектора электрической напряженности поля для некоторого диапазона направлений падающей плоской волны и для моментов времени, близких к приходу волны в точки поверхности шара, внутри которого содержится неоднородность. Показывается, что эта информация приводит обратную задачу к задаче рентгеновской томографии, алгоритмы численного решения которой хорошо разработаны.

Рассматривается геометрическая обратная задача идентификации изотропного, линейно упругого включения в изотропной, линейно упругой плоскости. Предполагается, что на бесконечности заданы постоянные напряжения и на некоторой, охватывающей включение, замкнутой кривой известны перемещения и действующие усилия. В случае, когда включение представляет собой квадратурную область, разработан метод идентификации ее узловых точек. Рассмотрен численный пример.

В работе рассматривается принципиально новый подход к решению задачи определения размеров структурных образований при ультразвуковой диагностике, в основе которого лежит теоретически обоснованная возможность оценивания размеров неоднородностей исследуемой среды посредством анализа статистических характеристик рассеянного на этих неоднородностях ультразвукового сигнала. Эта возможность обусловлена тем, что статистическое распределение данных, формирующих ультразвуковое изображение, варьируется от распределения Рэлея до распределения Райса в зависимости от соотношения между размером области когерентности рассеянного сигнала и шириной луча. Работа направлена на развитие нового метода статистического анализа данных, который позволит эффективно выявлять значительную когерентную составляющую в эхо-сигнале и тем самым будет использоваться как математический инструмент оценивания размера неоднородностей среды при ультразвуковой визуализации. Такой подход к анализу ультразвуковых изображений обеспечит возможность количественного оценивания структурных образований и тем самым – существенное повышение информативности ультразвуковой диагностики и возможность выявления патологий на ранней стадии их образования, открывая перспективы повышения эффективности лечения.

Работа посвящена математическому моделированию процесса плавления в образце под воздействием импульсной тепловой нагрузки на основе решения двухфазной задачи Стефана. Численная модель основана на подходе Самарского, что позволяет не выделять свободную границу во время расчета. Учет аксиально-симметричной геометрии позволил показать, что на испарение расходуется около четверти падающей энергии в центре области расплава. Это в пять раз больше, чем дают оценки, основанные на решении одномерного уравнения теплопроводности. В случае учета испарения вещества получено хорошее соответствие расчетных и экспериментальных температуры остывающей поверхности и скорости сужения области расплава. Результаты математического моделирования подтвердили существование режима охлаждения испарением при нагреве вольфрама электронным пучком существенно выше порога плавления.