Том 26, № 135 (2021)

В работе получено утверждение о минимуме графика отображения, действующего в частично упорядоченных пространствах. В доказательстве этого утверждения используется теорема о минимуме отображения в частично упорядоченном пространстве из статьи [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces // Journal of Optimization Theory and Applications. 2018. V. 180. Iss. 1, 48-61]. Также в данной работе показано, что это утверждение является аналогом вариационных принципов Экланда и Бишора-Фелпса - эффективных инструментов исследования экстремальных задач для функционалов, заданных на метрических пространствах. А именно, полученное в данной работе утверждение, примененное к частично упорядоченному пространству, созданному из метрического пространства введением в нем аналогов отношения порядка Бишопа-Фелпса, равносильно классическим вариационным принципам Экланда и Бишора-Фелпса.

В настоящей работе исследуется периодическая краевая задача для класса полулинейных дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве, для которых многозначная нелинейность удовлетворяет условию регулярности, выраженному в терминах мер некомпактности. Для доказательства существования решений задачи мы сначала конструируем соответствующую функцию Грина. Затем вводим в рассмотрение многозначный разрешающий оператор в пространстве непрерывных функций и сводим поставленную задачу к существованию неподвижных точек разрешающего мультиоператора. Для доказательства существования неподвижной точки используется обобщенная теорема типа Б. Н. Садовского для уплотняющих многозначных отображений.

В основе квантования по Березину на многообразии M лежит сопоставление, которое оператору A из некоторого класса соотносит пару функций F и F ♮ , определенных на M . Эти функции называются ковариантным и контравариатным символами оператора A . Мы интересуемся однородным пространством M=G/H и классами операторов, связанными с теорией представлений. Самая алгебраическая версия квантования - мы называем ее полиномиальным квантованием - получается, когда операторы принадлежат алгебре операторов, отвечающих в данном представлении T группы G элементам X универсальной обертывающей алгебры Env g алгебры Ли g группы G . В этом случае символы оказываются многочленами на алгебре Ли g . В настоящей статье мы предлагаем новую тему в квантовании Березина на G/H : в качестве исходного класса операторов мы берем операторы, отвечающие элементам самой группы G в представлении T этой группы. В статье мы рассматриваем два примера, в них однородные пространства - это параэрмитовы пространства ранга 1 и 2: a) G=SL(2;R) , H - подгруппа диагональных матриц, G/H - однополостный гиперболоид в R 3 ; b) G - псевдоортогональная группа SO0 (p; q) , подгруппа H накрывает с конечной кратностью группу SO0 (p-1, q -1)× SO0 (1;1) ; пространство G/H (псевдо-грассманово многообразие) есть орбита в алгебре Ли g группы G .

Иерархия k[S] и ее строгая версия представляют собой две деформации коммутативной алгебры k[S] , с k=R или k=C , в пространстве N×N матриц, где S - матрица оператора сдвига. В работе показано, что обе деформации соответствуют сопряжению k[S] элементами подходящей группы. При этом одевающая матрица деформации единственна в случае иерархии k[S] и определяется с точностью до умножения на единичную в случае строгой иерархии k[S] . Эта единственность позволяет непосредственно доказать, что форма Лакса иерархии k[S] равносильна семейству уравнений Сато-Вильсона. Аналог уравнений Сато-Вильсона для строгой иерархии k[S] всегда приводит к уравнениям Лакса этой иерархии. Эти системы эквивалентны, если окружение, в котором рассматривается иерархия, разрешимо по Коши в одномерном пространстве. В работе также представлена банахова группа Ли G( S 2 ) и две ее подгруппы P+( H) и U + H , где U + ( H)⊂ P + ( H) , такие, что однородные пространства G S 2 / P + ( H) и G( S 2 )/ U + ( H) дают решения иерархии k[S] и ее строгой версии, соответственно.