О теореме Чаплыгина для неявного дифференциального уравнения n-го порядка

Рассматривается задача Коши для неявного дифференциального уравнения -го порядка g t, x, x, …, x (n) =0, t ∈ 0; T , x 0 = A. Предполагается, что A= A 0 ,…, A n-1 ∈ R n , функция g:[0, T] × R n+1 → R измерима по первому аргументу t∈[0, T] , а при фиксированном t функция g t, ∙ × R n+1 → R непрерывна справа и монотонна по каждому из первых n аргументов, а по последнему n+1 -му аргументу непрерывна. Также предполагается, что для некоторых достаточно гладких функций η, ν справедливы неравенства ν i 0 ≥ A i ≥ η i 0 , i= 0, n-1, ν n t ≥ η n t , t∈[0; T]; g t; νt , ν t , ..., ν n t ≥ 0, g t, ηt , η t ,…, η (n) (t) ≤ 0, t∈0; T . Получены достаточные условия разрешимости и оценки решений рассматриваемой задачи Коши, кроме того, при выполнении этих условий множество решений, удовлетворяющих неравенствам η n t ≤ x n t ≤ ν n t , не пусто, и в этом множестве содержатся решения с наибольшей и наименьшей -й производной. Это утверждение аналогично классической теореме Чаплыгина о дифференциальном неравенстве. Метод доказательства использует результаты о разрешимости уравнений в частично упорядоченных пространствах. Приведены примеры применения полученных результатов к исследованию неявных дифференциальных уравнений второго порядка.

неявное дифференциальное уравнение -го порядка, наибольшее и наименьшее решения, оценки решений, теорема Чаплыгина о дифференциальном неравенстве