Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Задача оптимального управления на бесконечном интервале времени с общими концевыми ограничениями сводится к семейству стандартных задач на конечных интервалах, содержащих величину условной стоимости фазового вектора в качестве терминального члена. При помощи развитого подхода для задачи с общим асимптотическим концевым ограничением получен новый вариант принципа максимума Понтрягина, содержащий явное описание сопряженной переменной. В случае задачи со свободным правым концом данный подход приводит к варианту принципа максимума в нормальной форме, сформулированному полностью в терминах функции условной стоимости.

Рассматривается математическая модель конкурентного размещения предприятий (средств обслуживания) двумя соперничающими сторонами в ситуации альтернативных сценариев реализации множества потребителей. Исследуемая задача выбора наилучших решений сторонами формулируется как дискретная задача двухуровневого математического программирования. Предлагается способ вычисления верхних границ значений целевой функции задачи на подмножествах решений для использования в алгоритмах поиска оптимального решения рассматриваемой задачи. Основу предлагаемого способа составляют построение дополнительных ограничений (отсечений) для HP-релаксации (high-point relaxation в англоязычной литературе) рассматриваемой задачи и получение в результате более сильных оценочных задач. Предложена новая процедура генерации таких ограничений, позволяющая получить наиболее сильные ограничения без использования процедур перебора при их построении.

В работе дается оценка устойчивости решения задачи об определении распределенного изотропного источника для стационарного уравнения переноса излучения. Ранее оценки устойчивости для этой задачи были найдены в частном случае задачи эмиссионной томографии, когда оператор рассеяния отсутствует, а также в более общем случае при дополнительных, и трудных для проверки, условиях на коэффициент абсорбции и ядро оператора рассеяния. В настоящей работе предлагается новый и достаточно простой способ получения оценки устойчивости рассматриваемой задачи. Уравнение переноса рассматривается внутри круга в двумерном пространстве. В прямой задаче принимается, что входящее излучение отсутствует. В обратной задаче для определения источника на части границы рассматриваемой области задаются данные о решении прямой задачи, отвечающие выходящему излучению. Полученный в работе результат можно использовать для оценки суммарной плотности распределенных источников радиации.

На основе геометрических характеристик тетраэдра предложены количественные оценки его вырождения и установлена их связь с числом обусловленности локальных базисов, порожденных ребрами, выходящими из одной и той же вершины. Вводится понятие индекса вырождения тетраэдра в нескольких версиях и устанавливается их практическая эквивалентность друг другу. Для оценки качества конкретного тетраэдрального разбиения предлагается вычислять эмпирическую функцию распределения индекса вырождения на ее тетраэдральных элементах. Предложена нерегулярная модельная триангуляция (тетраэдризация или тетраэдральное разбиение) трехмерного пространства, зависящая от управляющего параметра, определяющего качество ее элементов. Координаты вершин тетраэдров модельной триангуляции являются суммами соответствующих координат узлов некоторой заданной регулярной сетки и случайных приращений к ним. Для различных значений управляющего параметра вычисляется эмпирическая функция распределения индекса вырождения тетраэдра, рассматриваемая как количественная характеристика качества тетраэдров в триангуляции трехмерной области.

На двумерной сфере рассматривается распределенный возобновляемый ресурс любой природы, динамика которого описывается моделью типа Колмогорова–Петровского–Пискунова–Фишера, и эксплуатация этого ресурса, осуществляемая путем постоянного или периодического импульсного отбора плотности ресурса. Показано, что после выбора допустимой стратегии эксплуатации динамика ресурса стремится к предельной динамике, соответствующей этой стратегии, и что существуют допустимые стратегии, доставляющие максимум среднего временного сбора ресурса.

Мы предлагаем вывод уравнений гравитации из классического принципа наименьшего действия в форме уравнений Власова-Пуассона с лямбда-членом и применяем следствия типа Гамильтона-Якоби для получения космологических решений, а также исследуем свойства точек Лагранжа.

В работе изучается вопрос о построении и оценках сильно непрерывной операторной группы, порожденной одномерным оператором Дирака, действующем в пространстве \(\mathbb{H} = {{\left( {{{L}_{2}}[0,\pi ]} \right)}^{2}}\). Потенциал предполагается суммируемым. Доказано, что эта группа определена в пространстве \(\mathbb{H} = ({{L}_{2}}[0,\pi {{])}^{2}}\) и в пространствах \(\mathbb{H}_{U}^{\theta }\), θ > 0, учитывающих краевые условия. Аналогичные результаты получены и в пространствах \({{\left( {{{L}_{\mu }}[0,\pi ]} \right)}^{2}}\), \(\mu \in (1,\infty )\). Кроме того, получены оценки на рост группы.

Обосновываются первые алгоритмы с константными оценками точности для серии асимметричных постановок задач маршрутизации: задачи о штейнеровском цикле, задачи коммивояжера с призами, задачи о покрытии графа ограниченным числом циклов и др. В большинстве своем предложенные алгоритмы опираются на оригинальные схемы сведения исследуемых постановок к вспомогательным постановкам асимметричной задачи коммивояжера и прорывные результаты О. Свенссона, Я. Тарнавски, Л. Вега и В. Трауб, Й. Вигена в области эффективной аппроксимируемости данной задачи. Алгоритм для задачи о покрытии графа ограниченным числом циклов опирается на технику, связанную с более глубокой модификацией подхода Свенссона-Трауб.

Во многих приложениях возникают многомерные интегралы по единичному гиперкубу, которые вычисляют с помощью методов Монте-Карло. Сходимость лучших из них оказывается довольно медленной. В данной работе предложены принципиально новые кубатуры со сверхстепенной сходимостью, основанные на усовершенствованных сетках Коробова и специальной замене переменной. Построены апостериорные оценки погрешности, практически неотличимые от фактической точности. Приведены примеры расчетов, иллюстрирующие преимущества предложенных методов.

Рассматривается неравенство Бернштейна для производной Рисса порядка \(0 < \alpha < 1\) целых функций экспоненциального типа в равномерной норме на вещественной оси. Для этого оператора получена соответствующая интерполяционная формула; она имеет неравномерные узлы. При помощи этой формулы при всех \(0 < \alpha < 1\) найдено точное неравенство Бернштейна, а именно, выписаны экстремальная целая функция и точная константа.

В работе представлена новая математическая модель переноса плазмы в спиральном магнитном поле. Удержание плазмы в установке осуществляется за счет передачи импульса от магнитного поля с винтовой симметрией вращающейся плазме. Математическая модель основана на стационарном уравнении переноса плазмы в аксиально-симметричной постановке. Модель использует экспериментальные данные, полученные на установке СМОЛА, созданной в ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН. Полученное с помощью численного моделирования распределение концентрации вещества подтвердило эффект удержания, полученный в эксперименте. Получены зависимости интегральных характеристик вещества от глубины гофрировки магнитного поля, диффузии и потенциала плазмы. Математическая модель разработана для предсказания параметров удержания плазмы в проектируемых установках со спиральным магнитным полем.