Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»

25 марта 2023 г. исполнилось 70 лет известному российскому ученому, почетному работнику высшего и профессионального образования РФ, педагогу, администратору, организатору науки и высшего образования в России доктору физико-математических наук, профессору Леониду Александровичу Сараеву.
В статье приведены ключевые библиографические данные Л. А. Сараева, представлены главные научные направления и результаты научной деятельности по фундаментальным проблемам прогнозирования нелинейных свойств композиционных материалов и разработке математических и стохастических методов и моделей анализа экономики.

Метод остаточных степенных рядов эффективен для получения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений дробного порядка. Вычисление дробной производной для коэффициентов степенного ряда, аппроксимирующего точное решение дифференциального уравнения, является недостатком этого метода. Другие известные методы приближенного интегрирования, такие как гомотопическое возмущение, разложение Адомиана и методы вариационных итераций, основываются на интегрировании для получения степенного ряда. Известна сложность вычисления дробных производных и интегрирования функций при построении степенного ряда для решения уравнений математической физики дробного порядка, поэтому использование упомянутых выше методов ограничено спецификой решаемой задачи. В настоящей статье получены приближенные и точные аналитические решения уравнений в частных производных переменными коэффициентами при использовании метода рядов остаточных степеней Лапласа в смысле дробной производной Герасимова–Капуто для времени. Этот метод помог преодолеть ограничения упомянутых выше способов интегрирования уравнений дробного порядка. Метод остаточных степенных рядов Лапласа лучше использовать при вычислении коэффициентов членов в решении ряда, применяя принцип прямого предела на бесконечности. Он также более эффективен, чем различные методы решения, если не использовать полиномы Адомиана и He для решения нелинейных задач дробного порядка. В статье исследуются относительные, повторяющиеся и абсолютные ошибки для трех задач математической физики для оценки достоверности предложенного метода. Результаты показывают, что сконструированный метод является альтернативой различным методам для построения решения рядами при решении уравнений в частных производных с дробным временем.

Рассмотрена система, состоящая из двух идентичных искусственных атомов (кубитов), нерезонансно взаимодействующих посредством вырожденных двухфотонных переходов с модой теплового квантового поля идеального микроволнового резонатора при наличии керровской нелинейности. Для рассматриваемой модели получено точное решение квантового уравнения Лиувилля для полной матрицы плотности системы «два кубита + мода поля резонатора». Для решения квантового уравнения эволюции использовано представление «одетых» состояний, то есть собственных функций гамильтониана.
Найден полный набор «одетых» состояний рассматриваемой модели. С его помощью первоначально найдено решение уравнения эволюции для перепутанных начальных состояний кубитов и фоковских состояний поля резонатора, то есть состояний с определенным числом фотонов в резонаторной моде. Указанное решение использовано для построения точного решения квантового уравнения Лиувилля в случае теплового состояния поля резонатора.
Усреднением полной матрицы плотности по переменным поля резонатора найдена редуцированная матрица плотности двух кубитов. Двухкубитная матрица плотности использована для вычисления параметра перепутывания кубитов в аналитическом виде для двух типов начальных перепутанных состояний кубитов белловского типа. В качестве количественного критерия перепутывания кубитов выбран параметр Переса–Хородецких, или отрицательность.
Проведено численное моделирование временной зависимости параметра перепутывания кубитов для различных параметров модели и начальных состояний кубитов. Наиболее интересным представляется результат, заключающийся в том, что для некоторых параметров модели учет керровской нелинейности приводит к существенной стабилизации начального перепутывания кубитов, а также к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания.

Предложен и реализован метод прогнозирования ползучести и длительной прочности в условиях вязкого механизма разрушения. Вводится предположение, что у материала при нагружении отсутствуют мгновенно-пластическая деформация и первая стадия ползучести, выполняется гипотеза несжимаемости. В разработанном методе показано, что если для заранее испытанного образца (образец-лидер) известны кривая ползучести при постоянном напряжении и время до ее разрушения, то для получения диаграммы реологического деформирования и длительной прочности материала при других уровнях напряжений достаточно знать лишь начальную минимальную скорость деформации ползучести (в начальный момент времени) образцов для этих уровней напряжений.
Выполнена проверка адекватности разработанного метода экспериментальным данным для ряда сплавов в условиях растяжения и кручения образцов. Показано, что результаты прогнозирования не зависят от выбора образца-лидера из ряда образцов, испытанных при различных напряжениях.
Результаты исследования показывают, что с помощью разработанного метода возможно не только прогнозирование кривых ползучести и длительной прочности (в асимптотической постановке), но и оптимальное планирование экспериментальных исследований для получения серии стационарных кривых ползучести при постоянных напряжениях.

Испаряющиеся капли и пленки используются в приложениях из разных областей. Особый интерес представляют различные методы испарительной самосборки. В работе описана математическая модель массопереноса в высыхающей на подложке капле на базе приближения тонкого слоя. Модель учитывает перенос растворенного или взвешенного вещества капиллярным потоком, диффузию этого вещества, испарение жидкости, формирование твердого осадка, зависимость вязкости и плотности потока пара от концентрации примеси.
Рассматривается случай, когда трехфазная граница «жидкость–подложка–воздух» закреплена. Для уравнений модели разработаны явные и неявные разностные схемы. Предложена модификация численного метода, в которой комбинируется расщепление по физическим процессам, итерационный метод явной релаксации и метод прогонки. Описан практический рецепт подавления пилообразных осцилляций на примере конкретной задачи.
Разработан программный модуль на языке С++, который в дальнейшем можно использовать для задач испарительной литографии. С помощью этого модуля проведены численные расчеты, результаты которых сравнивались с результатами, полученными в пакете Maple.
Численное моделирование предсказало случай, когда направление капиллярного потока с течением времени меняется на противоположное из-за изменения знака градиента плотности потока пара. Это может приводить к замедлению выноса вещества на периферию, что в результате будет способствовать формированию более или менее равномерного осадка по всей площади контакта капли с подложкой. Данное наблюдение полезно для совершенствования методов подавления кольцевых осадков, связанных с эффектом кофейных колец и нежелательных для некоторых приложений, как, например, струйная печать или нанесение покрытий.

Излагается метод численного анализа множеств решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения в правой части. Метод определяет экстремальные значения решений, которые составляют множества решений по осям координат или в заданном направлении. Получены оценки на основе использования оператора Коши, записанного символьными формулами вариации произвольных постоянных. Дополнительно реализован контроль отклонения решений при расчете пучка траекторий. Приведены примеры оценивания множеств достижимости систем при воздействии управляющих воздействий и возмущений.

Изучается n-мерная система уравнений с доминирующими частными производными n-го порядка. Признаком, отличающим рассматриваемую систему от других систем с частными производными, является наличие первого слагаемого в уравнениях правой части системы, представляющего собой доминирующую производную, при этом все остальные входящие в уравнения системы производные получаются из нее отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования по какой-либо из независимых переменных. Целью исследования является отыскание условий однозначной разрешимости задачи Гурса для рассматриваемой системы. Основная задача редуцируется к системе интегральных уравнений, решение которой существует и единственно при выполнении требований непрерывности ядер и правых частей этой системы в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Получены условия, при которых основная задача однозначно разрешима. Окончательный результат в терминах коэффициентов исходной системы формулируется в виде теоремы.