The estimation of solutions sets of linear systems of ordinary differential equations with perturbations based on the Cauchy operator

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper outlines a method for numerical analysis of sets of solutions for linear systems of ordinary differential equations that contain perturbations in the right-hand side. The method determines extreme values of the solutions, which comprise the sets of solutions along the coordinate axes or in a specified direction. The estimations are based on using the Cauchy operator, written with symbolic formulas for variations of arbitrary constants. Additionally, control is implemented over the deviation of solutions when calculating a bundle of trajectories. The paper also is devoted to examples of estimating reachability sets of systems under the influence of control and disturbance effects.

About the authors

Alexander A. Rogalev

Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University

Author for correspondence.
Email: gogoba88@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2176-9639
SPIN-code: 1313-8673
Scopus Author ID: 57212867169

Senior Lecturer, Dept. of Information Systems

Russian Federation, 660074, Krasnoyarsk, Academician Kirensky str., 26 k/1

References

  1. Abgaryan K. A. On the stability of motion within a finite interval of time, Sov. Math., Dokl., 1968, vol. 9, no. 3, pp. 1110–1112.
  2. Abgaryan K. A. Vvedenie v teoriiu ustoichivosti dvizheniia na konechnom intervale vremeni [Introduction to the Theory of Stability of Motion over a Finite Time Interval]. Moscow, Nauka, 1991, 160 pp. (In Russian)
  3. Polyak B. T., Khlebnikov M. V., Shcherbakov P. S. Linear matrix inequalities in control systems with uncertainty, Autom. Remote Control, 2021, vol. 82, no. 1, pp. 1–40. EDN: HMIXKI. DOI: https://doi.org/10.1134/S000511792101001X.
  4. Kurzhansky A. B. Upravlenie i nabliudenie v usloviiakh neopredelennosti [Management and Supervision in Conditions of Uncertainty]. Moscow, Nauka, 1977, 392 pp. (In Russian). EDN: YOIHKV
  5. Kurzhansky A. B., Filippova T. F. On a description of the bundle of surviving trajectories of a control system, Differ. Uravn., 1987, vol. 23, no. 8, pp. 1303–1315 (In Russian). EDN: YMJYEV.
  6. Chernous’ko F. L. Otsenivanie fazovogo sostoianiia dinamicheskikh sistem. Metod ellipsoidov [Estimation of the Phase State of Dynamic Systems. Ellipsoid Method]. Moscow, Nauka, 1988, 320 pp. (In Russian). EDN: TTDUCV
  7. Chernous’ko F. L. Ellipsoidal approximation of the attainability sets of a linear system with an uncertain matrix, J. Appl. Math. Mech., 1996, vol. 60, no. 6, pp. 921–931. DOI: https://doi.org/10.1016/S0021-8928(96)00114-1.
  8. Kurzhanski A. B., Mesyats A. I. Control of ellipsoidal trajectories: Theory and numerical results, Comput. Math. Math. Phys., 2014, vol. 54, no. 3, pp. 418–428. EDN: SKQPZP. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542514030117.
  9. Chernous’ko F. L. Optimal ellipsoidal estimates of control and uncertain systems (survey), Applied and Computational Mathematics, 2009, vol. 8, no. 2, pp. 135–151. EDN: MWVJOL.
  10. Ushakov V. N., Ershov A. A. Reachable sets and integral funnels of differential inclusions depending on a parameter, Dokl. Math., 2021, vol. 104, no. 1, pp. 200–204. EDN: RZPGMU. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562421040153.
  11. Ushakov V. N., Ershov A. A., Ushakov A. V. Control systems depending on a parameter: Reachable sets and integral funnels, Mech. Solids, 2022, vol. 57, no. 7, pp. 1672–1688. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654422070172.
  12. Aubin J.-P., Frankowska H. The value does not exist! A motivation for extremal analysis, Probab. Uncertain. Quant. Risk, 2022, vol. 7, no. 3, pp. 195–214. DOI: https://doi.org/10.3934/puqr.2022013.
  13. Althoff M., Frehse G., Girard A. Set propagation techniques for reachability analysis, Annu. Rev. Control Robot. Auton. Syst., 2021, vol. 4, pp. 369–395. DOI: https://doi.org/10.1146/annurev-control-071420-081941.
  14. Villegas Pico H. N., Alipantis D. C. Reachability analysis of linear dynamic systems with constant, arbitrary, and Lipschitz continuous inputs, Automatica, 2018, vol. 95, pp. 293–305. DOI: https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.05.026.
  15. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Adaptive interpolation algorithm on sparse meshes for numerical integration of systems of ordinary differential equations with interval uncertainties, Differ. Equ., 2021, vol. 57, no. 7, pp. 947–958. EDN: OECMNR. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266121070107.
  16. Gidaspov V. Yu., Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Adaptive interpolation algorithm using TT-decomposition for modeling dynamical systems with interval parameters, Comput. Math. Math. Phys., 2021, vol. 61, no. 9, pp. 1387–1400. EDN: WLZHVA. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542521090098.
  17. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Interval approach to solving parametric identification problems for dynamical systems, Differ. Equ., 2022, vol. 58, no. 7, pp. 952–965. EDN: PTDLNU. DOI: https://doi.org/10.1134/s0012266122070084.
  18. Novikov V. A., Rogalev A. N. Construction of convergent upper and lower bounds of solutions of systems of ordinary differential equations with interval initial data, Comput. Math. Math. Phys., 1993, vol. 33, no. 2, pp. 193–203. EDN: XKLCXR.
  19. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Numerical estimates of the maximum deviations of aircraft in the atmosphere, Vestn. SibGAU, 2016, vol. 16, no. 1, pp. 104–112 (In Russian). EDN: TRIUWN.
  20. Rogalev A. A. Algorithms for symbolic calculations based on root trees for assessing management capabilities, Siberian Journal of Science and Technology, 2017, vol. 18, no. 4, pp. 810–819 (In Russian). EDN: YNZVUQ.
  21. Rogalev A. N., Rogalev A. A., Feodorova N. A. Numerical computations of the safe boundaries of complex technical systems and practical stability, J. Phys.: Conf. Ser., 2019, vol. 1399, 033112. EDN: VXANUU. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1399/3/033112.
  22. Rogalev A. N., Rogalev A. A., Feodorova N. A. Malfunction analysis and safety of mathematical models of technical systems, J. Phys.: Conf. Ser., 2020, vol. 1515, 022064. EDN: GIFBHY. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1515/2/022064.
  23. Rogalev A. N. Regularization of inclusions of differential equations solutions based on the kinematics of a vector field in stability problems, J. Phys.: Conf. Ser., 2021, vol. 2099, 012045. EDN: WQZHXJ. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/2099/1/012045.
  24. Smirnov A. V. The bilinear complexity and practical algorithms for matrix multiplication, Comput. Math. Math. Phys., 2013, vol. 53, no. 12, pp. 1781–1795. EDN: SLOFHJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542513120129.
  25. Abramov S. A., Ryabenko A. A., Khmelnov D. E. Regular solutions of linear ordinary differential equations and truncated series, Comput. Math. Math. Phys., 2020, vol. 60, no. 1, pp. 1–14. EDN: KIPAWT. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542520010029.
  26. Galeev E. M. Optimizatsiia: teoriia, primery, zadachi [Optimization: Theory, Examples, Tasks]. Moscow, URSS, 2002, 304 pp. (In Russian)
  27. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The Theory of Splines and their Applications, Mathematics in Science and Engineering. New York, Academic Press, 1967, xi+284 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/s0076-5392(08)x6115-6.
  28. Tolpegin I. G. Differential-game methods for targeting missiles at high-speed maneuvering targets, Izv. RARAN, 2003, no. 1, pp. 80–86 (In Russian).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. The upper and lower bounds of the reachable set of the first component of the state vector are defined on the intervals [0, 4] and [0, 8] for the controlled system with perturbations (11)

Download (150KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. The upper and lower bounds of the reachable set of the third component of the state vector are defined on the intervals [0, 4] and [0, 8] for the controlled system with perturbations (11)

Download (141KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. The upper and lower bounds of the reachable set of the first component of the state vector are defined on the intervals [0, 16] for the controlled system with perturbations (12)

Download (121KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. The upper and lower bounds of the set of attainable values of the first component of the state vector in the vertical takeoff problem within the interval [0, 10]

Download (101KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».