Эффективный метод аналитического исследования линейных и нелинейных дробно-временных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

Обложка
  • Авторы: Liaqat M.I.1,2, Akgül A.3,4,5, Просвиряков Е.Ю.6,7,8,9
  • Учреждения:
    1. Правительственный колледж Университета
    2. Национальный колледж делового администрирования и экономики
    3. Ливанский Американский университет
    4. Университет Сиирта
    5. Ближневосточный университет
    6. Уральский федеральный университет
    7. Институт машиноведения УрО РАН
    8. Уральский государственный университет путей сообщения
    9. Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН
  • Выпуск: Том 27, № 2 (2023)
  • Страницы: 214-240
  • Раздел: Дифференциальные уравнения и математическая физика
  • URL: https://journals.rcsi.science/1991-8615/article/view/145899
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2009
  • ID: 145899

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Метод остаточных степенных рядов эффективен для получения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений дробного порядка. Вычисление дробной производной для коэффициентов степенного ряда, аппроксимирующего точное решение дифференциального уравнения, является недостатком этого метода. Другие известные методы приближенного интегрирования, такие как гомотопическое возмущение, разложение Адомиана и методы вариационных итераций, основываются на интегрировании для получения степенного ряда. Известна сложность вычисления дробных производных и интегрирования функций при построении степенного ряда для решения уравнений математической физики дробного порядка, поэтому использование упомянутых выше методов ограничено спецификой решаемой задачи. В настоящей статье получены приближенные и точные аналитические решения уравнений в частных производных переменными коэффициентами при использовании метода рядов остаточных степеней Лапласа в смысле дробной производной Герасимова–Капуто для времени. Этот метод помог преодолеть ограничения упомянутых выше способов интегрирования уравнений дробного порядка. Метод остаточных степенных рядов Лапласа лучше использовать при вычислении коэффициентов членов в решении ряда, применяя принцип прямого предела на бесконечности. Он также более эффективен, чем различные методы решения, если не использовать полиномы Адомиана и He для решения нелинейных задач дробного порядка. В статье исследуются относительные, повторяющиеся и абсолютные ошибки для трех задач математической физики для оценки достоверности предложенного метода. Результаты показывают, что сконструированный метод является альтернативой различным методам для построения решения рядами при решении уравнений в частных производных с дробным временем.

Об авторах

Muhammad Liaqat

Правительственный колледж Университета; Национальный колледж делового администрирования и экономики

Email: imranliaqat50@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0002-5732-9689

PhD Student, Abdus Salam School of Mathematical Sciences; Lecturer, Dept. of Mathematics;

Пакистан, 54600, Лахор

Ali Akgül

Ливанский Американский университет; Университет Сиирта; Ближневосточный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: aliakgul00727@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9832-1424

PhD in Math, Full Professor, Dept. of Computer Science and Mathematics; Dept. of Mathematics, Art and Science Faculty; Dept. of Mathematics, Mathematics Research Center

Ливан, Ливан, 1102 2801, Бейрут; Турция, 56100, Сиирт; Турция, 99138, Никосия

Евгений Юрьевич Просвиряков

Уральский федеральный университет; Институт машиноведения УрО РАН; Уральский государственный университет путей сообщения; Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН

Email: evgen_pros@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2349-7801

Dr. Phys. & Math. Sci., Dept. of Information Technologies and Control Systems; Sect. of Nonlinear Vortex Hydrodynamics; Dept. of Natural Sciences; Lab. of Physical and Chemical Mechanics

Россия, 620137, Екатеринбург; 620049, Екатеринбург; 620034, Екатеринбург; 426067, Ижевск

Список литературы

  1. Kulish V. V., Lage J. L. Application of fractional calculus to fluid mechanics, J. Fluids Eng., 2002, vol. 124, no. 3, pp. 803–806. DOI: https://doi.org/10.1115/1.1478062.
  2. Tarasov V. E. On history of mathematical economics: Application of fractional calculus, Mathematics, 2019, vol. 7, no. 6, 509. EDN: QUGYQX. DOI: https://doi.org/10.3390/math7060509.
  3. Sun H., Zhang Y., Baleanu D., Chen W., Chen Y. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2018, vol. 64, pp. 213–231. EDN: YGTRMT DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.019.
  4. Dalir M., Bashour M. Applications of fractional calculus, Appl. Math. Sci., 2010, vol. 4, no. 21, pp. 1021–1032.
  5. Valério D., Machado J. T., Kiryakova V. Some pioneers of the applications of fractional calculus, Fract. Calc. Appl. Anal., 2014, vol. 17, no. 2, pp. 552–578. EDN: SOSIVZ. DOI: https://doi.org/10.2478/s13540-014-0185-1.
  6. Liaqat M. I., Akgül A., Abu-Zinadah H. Analytical investigation of some time-fractional Black–Scholes models by the Aboodh residual power series method, Mathematics, 2023, vol. 11, no. 2, 276. DOI: https://doi.org/10.3390/math11020276.
  7. Traore A., Sene N. Model of economic growth in the context of fractional derivative, Alexandria Eng. J., 2020, vol. 59, no. 6, pp. 4843–4850. DOI: https://doi.org/10.1016/j.aej. 2020.08.047.
  8. Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann–Liouville fractional derivatives, Fract. Calc. Appl. Anal., 2009, vol. 12, no. 3, pp. 299–318.
  9. Bas E., Ozarslan R. Real world applications of fractional models by Atangana–Baleanu fractional derivative, Chaos, Solitons, Fractals, 2018, vol. 116, pp. 121–125. DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2018.09.019.
  10. Almeida R. A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2017, vol. 44, pp. 460–481. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.09.006.
  11. Khan A., Liaqat M. I., Alqudah M. A., Abdeljawad T. Analysis of the conformable temporalfractional Swift–Hohenberg equation using a novel computational technique, Fractals, 2023, vol. 31, no. 4, 2340050. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218348X23400509.
  12. Odibat Z., Momani S., Erturk V. S. Generalized differential transform method: Application to differential equations of fractional order, Appl. Math. Comp., 2008, vol. 197, no. 2, pp. 467–477. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.07.068.
  13. Anjum N., He J.-H. Laplace transform: Making the variational iteration method easier, Appl. Math. Letters, 2019, vol. 92, pp. 134–138. DOI: https://doi.org/10.1016/j.aml.2019.01.016.
  14. Dehestani H., Ordokhani Y., Razzaghi M. Pseudo-operational matrix method for the solution of variable-order fractional partial integro-differential equations, Engineering with Computers, 2021, vol. 37, no. 3, pp. 1791–1806. DOI: https://doi.org/10.1007/s00366-019-00912-z.
  15. Liaqat M. I., Khan A., Alqudah M. A., Abdeljawad T. Adapted homotopy perturbation method with Shehu transform for solving conformable fractional nonlinear partial differential equations, Fractals, 2023, vol. 31, no. 2, 2340027. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218348X23400273.
  16. Xiang W., Yan S., Wu J., Niu W. Dynamic response and sensitivity analysis for mechanical systems with clearance joints and parameter uncertainties using Chebyshev polynomials method, Mech. Syst. Signal Proc., 2020, vol. 138, 106596. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.106596.
  17. Liaqat M. I., Etemad S., Rezapour S., Park C. A novel analytical Aboodh residual power series method for solving linear and nonlinear time-fractional partial differential equations with variable coefficients, AIMS Math., 2022, vol. 7, no. 9, pp. 16917–16948. DOI: https://doi.org/10.3934/math.2022929.
  18. Ratas M., Salupere A., Majak J. Solving nonlinear PDEs using the higher order Haar wavelet method on nonuniform and adaptive grids, Math. Model. Anal., 2021, vol. 26, no. 1, pp. 147-169. DOI: https://doi.org/10.3846/mma.2021.12920.
  19. Liaqat M. I., Khan A., Akgül A. Adaptation on power series method with conformable operator for solving fractional order systems of nonlinear partial differential equations, Chaos, Solitons, Fractals, 2022, vol. 157, 111984. DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2022.111984.
  20. Zhang Y., Kumar A., Kumar S., et al. Residual power series method for time-fractional Schrödinger equations, J. Nonlinear Sci. Appl., 2016, vol. 9, no. 11, pp. 5821–5829. DOI: https://doi.org/10.22436/jnsa.009.11.10.
  21. El-Ajou A., Arqub O. A., Momani S. Approximate analytical solution of the nonlinear fractional KdV-Burgers equation: A new iterative algorithm, J. Comp. Phys., 2015, vol. 293, pp. 81–95. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.08.004.
  22. Saadeh R., Alaroud M., Al-Smadi M., et al. Application of fractional residual power series algorithm to solve Newell–Whitehead–Segel equation of fractional order, Symmetry, 2019, vol. 11, no. 12, 1431. DOI: https://doi.org/10.3390/sym11121431.
  23. Eriqat T., El-Ajou A., Oqielat M. N., et al. A new attractive analytic approach for solutions of linear and nonlinear neutral fractional pantograph equations, Chaos, Solitons, Fractals, 2020, vol. 138, 109957. DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109957.
  24. Hesameddini E., Rahimi A. Solving fractional partial differential equations with variable coefficients by the reconstruction of variational iteration method, Z. Naturforsch., A, 2015, vol. 70, no. 5, pp. 375–382. DOI: https://doi.org/10.1515/zna-2015-1017.
  25. Keskin Y., Karaoglu O., Servi S. The approximate solution of high-order linear fractional differential equations with variable coefficients in terms of generalized Taylor polynomials, Math. Comput. Appl., 2011, vol. 16, no. 3, pp. 617–629. DOI: https://doi.org/10.3390/mca16030617.
  26. Sarwar S., Alkhalaf S., Iqbal S., Zahid M. A. A note on optimal homotopy asymptotic method for the solutions of fractional order heat-and wave-like partial differential equations, Comp. Math. Appl., 2015, vol. 70, no. 5, pp. 942–953. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2015.06.017.
  27. Rostamy D., Karimi K. Bernstein polynomials for solving fractional heat- and wave-like equations, Fract. Calc. Appl. Anal., 2012, vol. 15, no. 4, pp. 556–571. DOI: https://doi.org/10.2478/s13540-012-0039-7.
  28. Bulut H., Baskonus H. M., Tuluce S. The solutions of partial differential equations with variable coefficient by Sumudu transform method, AIP Conf. Proc., 2012, vol. 1493, pp. 91–95. DOI: https://doi.org/10.1063/1.47654751.
  29. Nadeem M., Li F., Ahmad H. Modified Laplace variational iteration method for solving fourth-order parabolic partial differential equation with variable coefficients, Comp. Math. Appl., 2019, vol. 78, no. 6, pp. 2052–2062. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.03.053.
  30. Dehghan M., Manafian J. The solution of the variable coefficients fourth-order parabolic partial differential equations by the homotopy perturbation method, Z. Naturforsch., A, 2009, vol. 64, no. 7–8, pp. 420–430. DOI: https://doi.org/10.1515/zna-2009-7-803.
  31. Elzaki T. M., Ezaki S. M. On the Elzaki transform and ordinary differential equation with variable coefficients, Adv. Theor. Appl. Math., 2011, vol. 6, no. 1, pp. 41–46.
  32. Khan H., Shah R., Kumam P., Arif M. Analytical solutions of fractional-order heat and wave equations by the natural transform decomposition method, Entropy, 2019, vol. 21, no. 6, 597. DOI: https://doi.org/10.3390/e21060597.
  33. Khalouta A., Kadem A. A new computational for approximate analytical solutions of nonlinear time-fractional wave-like equations with variable coefficients, AIMS Math., 2020, vol. 5, no. 1, pp. 1–14. DOI: https://doi.org/10.3934/math.2020001.
  34. Silva F. S., Moreira D. M., Moret M. A. Conformable Laplace transform of fractional differential equations, Axioms, 2018, vol. 7, no. 3, 55. DOI: https://doi.org/10.3390/axioms7030055.
  35. Prakasha D. G., Veeresha P., Baskonus H. M. Residual power series method for fractional Swift-Hohenberg equation, Fractal Fract., 2019, vol. 3, no. 1, 9. DOI: https://doi.org/10.3390/fractalfract3010009.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. The approximate and exact results of \(\aleph(\theta_1,\omega)\) (a), \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\omega)\) (b), and \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\omega)\) (c) for various amounts of \(\beta\) in the range \(\omega\in[0,1.0]\), when \(\theta_1=0.5\) (a), \(\theta_1=\theta_2=\theta_3=0.5\) (b), and \(\theta_1=\theta_2=0.5\) (c)

Скачать (353KB)
Метаданные
3. Рис. 2. The 2D curves of the Abs-E graph of \(\aleph(\theta_1,\omega)\) (a), \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\omega)\) (b), and \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\omega)\) (c) for the approximate finding obtained through seven iterations and the exact result in the range \(\omega\in[0,0.5]\), when \(\theta_1=0.25\) (a), \(\theta_1=\theta_2=\theta_3=0.25\) (b), and \(\theta_1=\theta_2=0.25\) (c)

Скачать (102KB)
Метаданные
4. Рис. 3. The 2D curves of the Rel-E graph of \(\aleph(\theta_1,\omega)\) (a), \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\omega)\) (b), and \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\omega)\) (c) for the approximate finding obtained through seven iterations and the exact result in the range \(\omega\in[0,0.5]\), when \(\theta_1=0.25\) (a), \(\theta_1=\theta_2=\theta_3=0.25\) (b), and \(\theta_1=\theta_2=0.25\) (c)

Скачать (102KB)
Метаданные
5. Рис. 4. The 3D plots of the Abs-E of \(\aleph(\theta_1,\omega)\) (a), \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\omega)\) (b), and \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\omega)\) (c) for the approximate finding obtained through seven iterations and exact result in the ranges \(\omega\in[0,0.5]\) and \(\theta_1\in[0,0.5]\), when \(\theta_2=\theta_3=0.25\) (b), and \(\theta_2=0.25\) (c)

Скачать (808KB)
Метаданные
6. Рис. 5. The 3D plots of the Rel-E of \(\aleph(\theta_1,\omega)\) (a), \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\omega)\) (b), and \(\aleph(\theta_1,\theta_2,\omega)\) (c) for the approximate finding obtained through seven iterations and exact result in the ranges \(\omega\in[0,0.5]\) and \(\theta_1\in[0,0.5]\), when \(\theta_2=\theta_3=0.25\) (b), and \(\theta_2=0.25\) (c)

Скачать (778KB)
Метаданные

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».