Том 24, № 2 (2024)
Математика
Разностный метод высокой точности при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольном параллелепипеде с граничными значениями в C^(k,1)
Аннотация
В работе предлагается и обосновывается трехэтапный разностный метод для решения задачи Дирихле уравнения Лапласа на прямоугольном параллелепипеде. На первом этапе приближенное значение суммы из чистых четвертых производных решения определяется 14-точечным разностным оператором на кубической сетке. На втором этапе приближенное значение суммы из чистых шестых производных решения определяется простейшим 6-точечным разностным оператором. На третьем этапе система разностных уравнений для искомого решения конструируется также с помощью 6-точечного разностного оператора с коррекцией по результатам первого и второго этапов. Доказано, что предложенная разностная схема решения для задачи Дирихле сходится со скоростью $O(h^{6}(|\ln h|+1))$, кoгда граничные функции на гранях из $C^{7,1}$, а на ребрах их вторые, четвертые и шестые производные удовлетворяют условию согласования, вытекающего из уравнения Лапласа.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):162-172
162-172
Новые интегральные неравенства в классе (h, m)-выпуклых функций
Аннотация
В статье определены новые взвешенные интегральные операторы. Сформулирована лемма, в которой получено обобщенное тождество через эти интегральные операторы. С использованием данного тождества получены некоторые новые обобщенные неравенства типа Симпсона для $(h,m)$-выпуклых функций. Эти результаты получены на основе свойства выпуклости, классического неравенства Гельдера и его другой формы — неравенства степенного среднего. Общность результатов статьи заключается в двух основных моментах. Первый — используемый интегральный оператор, так как «вес» позволяет охватить многие известные интегральные операторы, в том числе классические Римана и Римана – Лиувилля. Второй момент — используемое понятие выпуклости, при адекватном выборе параметров оно содержит несколько уже известных понятий выпуклости. Это позволяет сделать заключение, что многие известные в литературе результаты являются частными случаями рассматриваемых в статье.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):173-183
173-183
О потенциальности, дискретизации и интегральных инвариантах бесконечномерных систем Биркгофа
Аннотация
При исследовании уравнений движения систем различной физической природы появляются задачи определения качественных показателей и свойств движения по известным структуре и свойствам рассматриваемых уравнений. Такими качественными показателями для конечномерных систем являются, в частности, интегральные инварианты — интегралы от некоторых функций, сохраняющие свое значение в процессе движения системы. Они были введены в аналитическую механику А. Пуанкаре. В дальнейшем была установлен связь интегральных инвариантов с рядом фундаментальных понятий классической динамики. Основная цель данной работы — распространить некоторые положения теории интегральных инвариантов на широкие классы уравнений движения бесконечномерных систем. Используя заданное действие по Гамильтону, получены уравнения движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы, обобщающие известные уравнения Биркгофа. Для них построен разностный аналог с дискретным временем. На его основе найдена разностная аппроксимация соответствующего интегрального инварианта первого порядка.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):184-192
184-192
Алгоритмический поиск целых абелевых корней многочлена с целыми абелевыми коэффициентами
Аннотация
В работе рассматриваются операции над целыми абелевыми числами ранга $n$. Такие числа по определению являются элементами поля комплексных чисел и имеют вид многочленов с целыми коэффициентами от заданного первообразного корня из единицы степени $n$, при этом степени таких многочленов ограничены функцией Эйлера $\varphi(n)$. Приведен пример, показывающий, что внутри круга на комплексной плоскости можно найти бесконечно много целых абелевых чисел. Для описанных операций, в частности, представлен алгоритм вычисления обратного для данного целого абелева числа ранга $n$, что позволяет рассматривать не только кольца таких чисел, но и поля целых абелевых чисел. Естественная арифметика, возникающая для таких алгебраических структур, приводит к вопросу об изучении многочленов с целыми абелевыми коэффициентами. Исследуется задача поиска корней таких многочленов. Предложен алгоритм нахождения целых абелевых корней многочленов над кольцом целых абелевых чисел. Этот алгоритм основан на выдвинутом предложении о том, что все корни заданного многочлена ограничены некоторой областью. Проведены компьютерные вычисления, подтверждающие статистическую верность предложения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):193-199
193-199
Глобальная разрешимость обратной спектральной задачи для дифференциальных систем на конечном интервале
Аннотация
Исследуется обратная спектральная задача для несамосопряженных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном интервале. Получены необходимые и достаточные условия глобальной разрешимости обратной задачи, а также алгоритм построения ее решения. Для решения этой нелинейной обратной задачи используется развитие идей метода спектральных отображений, что позволяет построить потенциальную матрицу по заданным спектральным характеристикам и установить условия глобальной разрешимости рассматриваемой обратной задачи.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):200-208
200-208
Механика
Об одном новом подходе к идентификации неоднородных механических свойств упругих тел
Аннотация
Представлен новый подход к решению задачи об идентификации переменных характеристик неоднородного упругого изотропного тела. Приведены наиболее употребительные постановки задач об определении переменных механических характеристик (параметры Ламе и плотность — функции координат). Обратная задача идентификации свойств в силу своей существенной нелинейности обычно решается итерационным образом, причем каждая итерация требует решения прямой задачи для некоторого начального приближения и системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами для нахождения поправок. Такой подход, в свою очередь, требует задания поля перемещений в области, в которой осуществляется нагружение. Предложен подход, на базе которого возможно осуществлять реконструкцию при съеме дополнительной информации о поле смещений в области, отличной от области нагружения, в более узком пространстве поиска. Представлен пример такой реконструкции в задаче о продольных колебаниях неоднородного стержня, где амплитудно-частотная характеристика задана во внутренней точке стержня, а нагружение реализовано на торце. Приведены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции модуля упругости и плотности в виде двух функций продольной координаты.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):209-221
209-221
Асимптотическая теория гиперболического погранслоя в оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа
Аннотация
Работа посвящена построению асимптотически оптимальных уравнений гиперболического погранслоя в тонких оболочках вращения в окрестности фронта волны расширения при ударных торцевых воздействиях тангенциального типа. Соотношения выводятся методом асимптотического интегрирования точных трехмерных уравнений теории упругости в пространстве специальной системы координат, явно выделяющей зону действия погранслоя. Для этого анализируется поведение переднего фронта волны расширения, имеющего сложную форму вследствие кривизны оболочки. Построенная асимптотическая модель геометрии переднего фронта дает его представление через повернутые нормали к срединной поверхности. Эти повернутые нормали и дают возможность определить геометрию узкой, порядка квадрата относительной толщины оболочки, области применимости рассматриваемого гиперболического погранслоя. Построенные асимптотически оптимальные уравнения сформированы для асимптотически главных компонент напряженно-деформированного состояния: продольного перемещения и нормальных напряжений. При этом разрешающее уравнение относительно продольного перемещения является гиперболическим уравнением второго порядка с переменными коэффициентами у слагаемых первого порядка малости по сравнению с его главной частью, определяющей гиперболический погранслой в пластине.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):222-230
222-230
Математическая модель колебаний ортотропных сетчатых микрополярных цилиндрических оболочек в условиях температурных воздействий
Аннотация
В работе построена математическая модель колебаний микрополярных цилиндрических оболочек сетчатой структуры под действием вибрационных и температурных воздействий. Материал оболочки упругий, ортотропный, однородный, моделируемый псевдоконтинуумом Коссера, со стесненным вращением частиц. Принят закон Дюгамеля – Неймана. Сетчатая структура учтена по модели Г. И. Пшеничнова, геометрическая нелинейность — по теории Теодора фон Кармана. Уравнения движения, граничные и начальные условия получены из вариационного принципа Остроградского – Гамильтона на основе кинематической модели С. П. Тимошенко. Построенная математическая модель будет полезной, в том числе при исследовании поведения углеродных нанотрубок в различных условиях эксплуатации.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):231-244
231-244
Анализ упругих и упругопластических моделей при интерпретации результатов наноиндентирования
Аннотация
Одним из актуальных и широко распространенных в настоящее время методов неразрушающих испытаний для контроля и определения упругих свойств материалов является наноиндентирование. При этом для интерпретации результатов испытаний возникает нетривиальная задача построения адекватной математической модели процесса индентирования. Как правило, во многих случаях используются аналитические формулы, полученные при упругой линейной постановке задач о внедрении недеформируемого штампа в однородное упругое полупространство. В настоящее время численная постановка задачи позволяет получить и использовать численное решение, полученное с учетом полного пластического нелинейного поведения материала. В данной работе проведено исследование контактных задач о внедрении сферического и конического инденторов в упругопластическое однородное полупространство. Для верификации численного решения также решена задача о внедрении сферического и конического инденторов в упругое однородное полупространство, проведено сравнение с известными аналитическими решениями. Исследуются вопросы сходимости и настройки численных методов, влияния пластичности и применимости аналитических решений. Численно задачи решаются методом конечных элементов в программном комплексе Ansys Mechanical.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):245-253
245-253
Исследование влияния характеристик межсистемных шунтов на гемодинамические показатели и распределение кислорода
Аннотация
Различные межсистемные шунты широко применяются при лечении новорожденных с врожденными пороками сердца и сниженным кровообращением легких. Установка шунта сопровождается высоким риском развития послеоперационных осложнений и летальности. Развитие некоторых осложнений возможно предсказать, используя методы математического моделирования, и скорректировать лечение. В данной работе исследована система «аорта – шунт – легочная артерия». Были проанализированы три варианта расположения шунта с разными диаметрами у трех пациентов. При исследовании полученных 27 вариантов использовались распространенные гемодинамические показатели (касательные напряжения у стенки, осредненные за сердечный цикл касательные напряжения, индекс колебаний касательных напряжений, относительное время пребывания и др.). На основе численного решения показана зависимость распределения кровотока в легочной артерии от расположения шунта. Следует отметить, что для разных пациентов место установки шунта отличается. Также было показано, что потери энергии шунтов диаметром 4 мм почти в два раза больше, чем у шунтов диаметром 3 мм. Индивидуальный подход к лечению каждого новорожденного, основанный на объективных данных, может существенно уменьшить число случаев детской смертности и повысить эффективность процесса реабилитации.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):254-274
254-274
Информатика
Реализация системы идентификации и распознавания когнитивного поведения наблюдаемого
Аннотация
В статье описывается и анализируется разработка системы идентификации и распознавания когнитивного поведения учащихся для определения заинтересованности по мимике лица. Цель исследования — найти подходящие технологии для реализации данной системы. Определение эмоций позволит организовать контроль за качеством учебного процесса, провести статистику когнитивного поведения студентов во время проведения занятий и показать уровень заинтересованности обучаемых в излагаемом материале. Система идентификации позволит автоматически определять и регистрировать время прихода и ухода студентов в режиме реального времени. На основе совместного применения метода Виолы – Джонса и метода ближайших соседей с использованием гистограмм центрально-симметричных локальных бинарных образов разработана система распознавания лиц в видеопоследовательности в реальном времени. Описана структура проекта и разработано программное обеспечение на языке программирования Python с использованием библиотеки с открытым исходным кодом Keras. Разработанная система состоит из двух подсистем: идентификации и распознавания когнитивного поведения. Научная новизна заключается в комплексном подходе к разработке и исследованию алгоритмов распознавания и идентификации лиц в режиме реального времени для решения прикладных задач.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):275-286
275-286
Сеть массового обслуживания с повторными вызовами и нетерпеливыми клиентами как модель колл-центра
Аннотация
Предметом математического исследования и моделирования в данной работе является колл-центр, который принимает входящие звонки, инициированные клиентами. В качестве стохастической модели процесса обслуживания звонков предлагается использовать замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживая с повторными вызовами и нетерпеливыми заявками. Приведен краткий обзор опубликованных работ по применению моделей массового обслуживания при математическом моделировании процессов обслуживания клиентов в колл-центрах. Описана сетевая модель, указаны возможные состояния, маршрутизация, параметры и особенности обслуживания заявок. Состояние модели полностью характеризуется распределением заявок по возможным системам массового обслуживания в заданный момент времени. Вектор, определяющий состояние сетевой модели, представляет собой цепь Маркова с непрерывным временем и конечным числом состояний. Модель исследуется в асимптотическом случае — при критическом предположении большого числа заявок в сети массового обслуживания. Используемый математический подход позволяет осуществить предельный переход от цепи Маркова к непрерывному марковскому процессу. Доказано, что плотность распределения вероятностей процесса состояния модели удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка – Колмогорова. Используя коэффициенты сноса уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова, можно записать систему обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета среднего числа заявок в каждом из узлов сетевой модели с течением времени. Решение этой системы позволяет прогнозировать динамику ожидаемого количества клиентов в узлах сети и регулировать параметры работы колл-центра. Преимуществом выбранного метода исследования является возможность расчета средних характеристик модели колл-центра как в переходном, так и в стационарном режиме. Результаты исследования могут быть использованы при проектировании колл-центров и анализе их загруженности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):287-297
287-297
Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах
Аннотация
Во многих странах мира отмечается ухудшение геоэкологического состояния водных объектов, связанное со значительно возросшим антропогенным воздействием на природные воды. При этом гарантированное качество водных ресурсов и его надежность обеспечиваются сопоставлением реализуемого качества и гарантированного. В настоящей статье рассматриваются модели поступления и перемещения загрязняющих веществ, содержащихся в водной среде. На основе используемых в настоящее время подходов и критериев загрязнения вод разработан комплекс параллельных программ для высокопроизводительных вычислительных систем, позволяющий моделировать рассматриваемые процессы, а также оценивать риски и уязвимость по отношению к антропогенным воздействиям, проводить районирование акватории мелководного водоема в соответствии с уровнями антропогенных нагрузок, осуществлять экологическое проектирование с позиции устойчивого развития.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(2):298-315
298-315