Том 25, № 3 (2025)
Математика
О кратностях некоторых градуированных кохарактеров матричной супералгебры M(2,2)(F)
Аннотация
Пусть $F$ — произвольное поле характеристики нуль, $M^{(m,k)}(F)$ — матричная супералгебра над $F$. Из теории алгебр с полиномиальными тождествами известно, что супералгебра $M^{(m,k)}(F)$ имеет конечный базис $Z_2$-градуированных тождеств. Поэтому естественным образом возникает задача описания этого базиса. На данный момент времени такого описания нет. Прежде всего, это связано с тем, что отсутствуют какие-либо эффективные методы нахождения обычных или $Z_2$-градуированных тождеств супералгебры $M^{(m,k)}(F)$. Тем не менее при некоторых значениях $m,k$ такие тождества найти все же удается. Для этого используют либо компьютерные вычисления, либо хорошо развитый аппарат теории представлений симметрической группы $S_n$ и общей линейной группы $GL_p$. Более точно для нахождения $Z_2$-градуированных тождеств супералгебры $M^{(m,k)}(F)$ при малых значениях $m,k$ изучают последовательность $\{\chi_n\}$ характеров представлений либо групп $S_r\times S_{n-r}$, либо группы $GL_p\times GL_p$. Для каждой такой группы строят свое векторное $F$-пространство в свободной алгебре $F\{Y\bigcup Z\}$. При этом относительно действия группы $S_r\times S_{n-r}$ ($GL_p\times GL_p$) на свое векторное пространство оно имеет структуру левого $S_r\times S_{n-r}$ ($GL_p\times GL_p$) модуля. Однако оказывается, что с вычислительной точки зрения работать с последовательностью характеров представлений группы $GL_p\times GL_p$ предпочтительнее. В данной работе изучается последовательность $GL_p\times GL_p$-характеров $\{\chi_n\}$ матричной супералгебры $M^{(2,2)}(F)$. При этом используется тот факт, что между парами разбиений $(\lambda,\mu)$, где $\lambda\vdash r,\, \mu\vdash n-r$, и неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями между парами разбиений $(\lambda,\mu)$, где $\lambda\vdash r,\, \mu\vdash n-r$, и неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями существует взаимнооднозначное соответствие. Кроме того, мы исследуем только те кратности в разложении характера $\chi_n$, которые связаны с неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями, находящимися в соответствии с парами разбиений $(\lambda,\mu)$ вида $(0,\mu)$. Показано, что если высота $h(\mu)$ диаграммы Юнга $D_\mu$ разбиения $\mu$, участвующего в разложении характера $\chi_n$, не больше пяти, то кратность $m_{(0,\mu)}$ неприводимого $GL_p\times GL_p$-характера отлична от нуля.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):306-315
306-315
Асимптотики оптимального инвестиционного поведения в модели риска с двусторонними скачками
Аннотация
Исследуется проблема оптимального управления инвестициями для страховой компании, имеющей два направления бизнеса: страхование пожизненной ренты и рисковое страхование (не связанное со страхованием жизни). Компания может инвестировать свой излишек в безрисковый актив и рисковый актив с динамикой цен, заданной геометрическим броуновским движением. Целью оптимизации является максимизация вероятности неразорения по суммарному портфелю на бесконечном интервале времени. При отсутствии инвестиций излишек портфеля описывается стохастическим процессом, включающим двусторонние скачки и непрерывный детерминированный снос. Скачки вниз соответствуют размерам требований по рисковому страхованию, а скачки вверх интерпретируются как случайные доходы, возникающие в конечные моменты реализации договоров пожизненной ренты (т.е. в моменты смерти страхователей) в результате высвобождения неизрасходованных средств. Непрерывный снос определяется разностью между премиями по договорам рискового страхования и аннуитетными платежами. Решение задачи оптимизации, которое дает максимальную вероятность неразорения, а также оптимальную стратегию, связано с классическим решением соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана (HJB), если это решение существует. В рассматриваемой модели риска HJB включает интегральные операторы двух типов: вольтерровские и невольтерровские. Наличие последних делает асимптотический анализ решения достаточно сложным. Однако для случая малых скачков (когда скачки имеют показательное распределение) получены асимптотические представления решений как для малых, так и для больших значений начального резерва.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):316-324
316-324
Решение обратной спектральной задачи для дифференциальных операторов на конечном интервале с комплексными весами
Аннотация
Исследуются несамосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка на конечном интервале с комплексными весами. Установлены свойства спектральных характеристик и изучается обратная задача восстановления операторов по их спектральным характеристикам. Для этого класса нелинейных обратных задач получен алгоритм для построения глобального решения. Для исследования этого класса обратных задач используется развитие идей метода спектральных отображений.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):325-331
325-331
Механика
Колебания конечномерных моделей растяжимой цепной линии
Аннотация
Настоящая статья посвящена исследованию собственных частот колебаний конечномерных моделей растяжимой гибкой цепной линии. Приводятся аналитическое решение для двухгантельной и трехгантельной моделей, а также результаты компьютерного моделирования двадцатигантельной схемы растяжимой цепной линии. В случае аналитического подхода применяется координатный метод решения, при котором расписываются координаты сосредоточенных масс гантельных схем в отклоненном положении. В случае численного подхода используется программный комплекс MSC.ADAMS, позволяющий анализировать статику, кинематику и динамику многотельных систем. Полученные результаты для рассматриваемых моделей растяжимой цепной линии находятся в хорошем качественном соответствии между собой. Кроме того, при рассмотрении предельных переходов от растяжимого варианта к нерастяжимому также наблюдается хорошая согласованность ожидаемых эффектов с найденными результатами. Для конечномерной двадцатигантельной модели нерастяжимой цепной линии с сосредоточенными параметрами проводится сопоставление первых трех безразмерных частот с частотами непрерывной модели, значения которых были найдены ранее. Наблюдается отличная схожесть результатов, подтверждающих применимость двадцатигантельной схемы для описания динамики цепной линии на низших частотах колебаний. Помимо определения частот, привычных для классической нерастяжимой цепной линии, проводится анализ новых «мигрирующих» частот, которые появляются вследствие возникновения дополнительных степеней свободы из-за учета растяжимости. Строятся частотные зависимости от параметра, характеризующего податливость цепной линии, что позволяет оценить, как быстро «мигрирующие» частоты перемещаются из высокочастотного диапазона в зону низших частот по мере ослабления жесткости цепи. Полученные формулы и рассмотренные модели имеют как теоретическую ценность, так и хорошую применимость для прикладных задач.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):332-344
332-344
Математические модели деформирования оболочечных конструкций и алгоритмы их исследования. Часть II. Алгоритмы исследования оболочечных конструкций
Аннотация
Математические модели деформирования тонких оболочек, описанные в первой части статьи, представляют собой или вариационную задачу о минимуме функционала энергии деформации оболочки, или краевую задачу для дифференциальных уравнений равновесий оболочки. И в том, и в другом случае задаются еще краевые условия исходя из вида закрепления контура оболочек. Для решения поставленных задач рассмотрены различные методы. Применяя метод Ритца к вариационной задаче о минимуме функционала энергии деформации оболочки или метода Бубнова – Галеркина к краевой задаче для дифференциальных уравнений равновесий оболочки, получаются системы алгебраических уравнений линейных или нелинейных. Применение метода конечных элементов (МКЭ) к решению задач теории оболочек также приводит к системам алгебраических уравнений, порядок которых может быть очень большим. Для решения линейных систем алгебраических уравнений может быть применен метод Гаусса, если порядок системы не превышает $10^3$. Если же порядок системы линейных алгебраических уравнений превышает $10^3$, то для решения таких систем применяют итерационные методы. Для решения нелинейных задач теории оболочек применяют методы продолжения решения по параметру. Если за параметр принимается нагрузка, то это будет метод последовательных нагружений В. В. Петрова, который позволяет свести решение нелинейных задач к последовательному решению линейных задач с изменяющимися на каждом этапе нагружения коэффициентами. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен также метод итераций, когда нелинейные члены переносятся в правую часть и последовательно изменяются на каждом этапе итерации. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен еще метод наискорейшего спуска. А. Л. Гольденвейзером разработан специальный метод — метод асимптотического интегрирования уравнений теории оболочек, который также описан в предлагаемой статье. Если уравнение равновесия оболочек содержит разрывные функции (единичные функции, дельта-функции), то Г. Н. Белосточным разработан специальный метод решения таких уравнений, который также описан в статье. Приводятся примеры применения описанных методов для решения конкретных задач теории оболочек.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):345-365
345-365
Статика и динамика сетчатой нанопластины с электрическим приводом
Аннотация
Объектом исследования является жестко защемленная по торцам гибкая пластина сетчатой структуры с электрическим приводом. К затвору, расположенному на некотором расстоянии под пластиной, и пластине подключен источник электродвижущей силы. Объемные пондеромоторные силы электрического поля, действующие на пластину, моделируются силой Кулона. Уравнения движения элемента геометрически нелинейной пластины, граничные и начальные условия получены из вариационного принципа Остроградского – Гамильтона на основании гипотез Кирхгофа. Рассматривается изотропный, однородный материал. Масштабные эффекты учтены посредством модифицированной моментной теории упругости. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. Геометрическая нелинейность учтена по теории Т. фон Кармана. Сетчатая структура пластины моделировалась посредством континуальной теории Г. И. Пшеничного, что позволило заменить регулярную систему ребер сплошным слоем. Система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая нелинейные колебания рассматриваемой сетчатой пластины, сводилась к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей второго порядка точности. Задача Коши решалась методом Рунге – Кутты четвертого порядка точности. Математическая модель, алгоритм решения и программный комплекс верифицированы путем сравнения результатов расчета с натурным экспериментом. Проведен анализ эффекта втягивания в зависимости от геометрии сетки, а также анализ появления зон неустойчивости в зависимости от амплитуды и частоты динамической части электрического напряжения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):366-379
366-379
К вопросу о физическом смысле материальных констант гиперупругих моделей
Аннотация
Известна востребованность гиперупругих моделей деформирования при проектировании изделий технического назначения с использованием эластомерных материалов (резины и резиноподобных полиуретанов, силиконов и термоэластопластов ТЭП), реализующих высокие (до 500%) обратимые деформации и демпфирующую способность при циклической и ударной нагрузке. К таким изделиям относятся автомобильные шины, амортизаторы, передачи с гибкой связью, «compliance mechanisms» в робототехнике и т.п. Не менее актуальным и при этом социально значимым является применение теории гиперупругости с целью разработки имплантируемых материалов и устройств для общей, кардио- и пластической хирургии, включая замещение мягких биологических тканей (кожи, мышц, связок и т.д.) их функциональными аналогами в виде биосовместимых синтетических материалов. Но одной из нерешенных проблем механики гиперупругих моделей материалов остается физическая интерпретация их материальных констант. В данном сообщении материальные постоянные моделей сопоставлены с упругими модулями материалов ($E_{0}$ и $G_{0}$) в недеформированном состоянии. Верифицировано, что для неогуковской модели выполняется соотношение $\mu=E_{0}/6$, для двухпараметрической модели Муни – Ривлина — $C_{01}+C_{10}=E_{0}/6$. Установлено, что такая же формула справедлива и для 3-, 5- и 9-параметрических моделей Муни – Ривлина и полиномиальной модели второго порядка. Получено для модели Огдена $3\mu\alpha=2E_{0}$, Йео $C_{1}=E_{0}/6$, Веронда – Вестманн $6(C_{1}C_{2}+C_{3})=E_{0}$. Сделан вывод, что материальные постоянные являются показателями механической стабильности гиперупругих моделей вследствие условия Hill – Drucker. На примере биоматериала произведено сравнение результатов, полученных с помощью найденных формул, между собой и с показателями других моделей: линейной, билинейной и экспоненциальной. Установлено, что ряд моделей неудовлетворительно описывают поведение материала при малых деформациях.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):380-390
380-390
Влияние геометрической формы надреза на релаксацию остаточных напряжений в поверхностно упрочненном цилиндре при термоэкспозиции
Аннотация
Предложен метод расчета релаксации остаточных напряжений при высокотемпературной ползучести после опережающего поверхностного пластического деформирования сплошного цилиндра с надрезами квадратного и V-образного профилей. Выполнена серия параметрических расчетов для цилиндрических образцов из сплава ЭИ698 длиной 20 мм и радиусом 3.76 мм при различных геометрических параметрах надрезов: глубине $\{0.1; 0.3\}$ мм для квадратного надреза и глубине $\{0.1; 0.3\}$ мм при углах раскрытия $\{1^\circ, 5^\circ, 15^\circ\}$ для V-образного надреза. Установлено, что расчет полей остаточных напряжений после нанесения надрезов на упрочненный цилиндрический образец требует применения упругопластической постановки задачи. При моделировании релаксации остаточных напряжений при температуре 700$^\circ$C в течение 100 ч. использовался закон установившейся ползучести. Проведен параметрический анализ влияния геометрических характеристик надрезов на процесс релаксации напряжений. Результаты показывают, что после полного цикла нагружения «упрочняющая обработка при 20$^\circ$C — температурная нагрузка (нагрев) до 700$^\circ$C — ползучесть в течение 100 ч. при 700$^\circ$C — температурная разгрузка (охлаждение) до 20$^\circ$C», несмотря на релаксацию, сохраняются значительные величины сжимающих остаточных напряжений, что подтверждает эффективность поверхностного пластического упрочнения для деталей с исследуемыми типами надрезов в условиях высокотемпературной ползучести.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):391-405
391-405
Термосиловое резонансное нагружение трехслойной пластины
Аннотация
Исследовано воздействие теплового удара на вынужденные колебания круговой трехслойной пластины, возбужденные резонансной нагрузкой. Пластина несимметричная по толщине, теплоизолированная на нижней поверхности и контуре. Распределение нестационарной температуры по толщине пластины вычисляется по приближенной формуле, полученной в результате решения задачи теплопроводности при усреднении теплофизических свойств материалов трехслойного пакета. В соответствии с гипотезой Неймана на свободные колебания, вызванные тепловым ударом (мгновенным падением теплового потока), накладываются вынужденные колебания от резонансной нагрузки. Использованы следующие кинематические гипотезы. Несущие слои предполагаются тонкими, высокопрочными. Для них приняты гипотезы Кирхгофа. В относительно толстом заполнителе выполняется гипотеза Тимошенко, согласно которой нормаль к срединной поверхности в процессе деформации перестает быть нормалью, но остается прямолинейной и несжимаемой. В постановку начально-краевой задачи входят дифференциальные уравнения поперечных колебаний пластины в частных производных, полученные вариационным методом, однородные начальные условия и граничные условия шарнирного опирания контура. Искомыми функциями выступают прогиб пластины, угол поворота нормали в заполнителе (относительный сдвиг) и радиальное перемещение срединной поверхности заполнителя. Для их получения использована известная система собственных ортонормированных функций. Приведены соответствующие расчетные формулы и результаты числового параметрического анализа зависимости решения от интенсивности и времени воздействия теплового потока, величины силовой нагрузки.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):406-418
406-418
Численное исследование коагуляции дисперсных включений при вдуве капельных фракций в поток запыленной среды
Аннотация
В работе численно решается задача о коагуляции твердых частиц и капель при вдуве газокапельного потока в поток газовзвеси. Предполагалось, что в плоском канале движется запыленная среда, а через боковую поверхность канала происходит вдув газокапельной смеси. В результате коагуляции твердых частиц и капель происходит уменьшение средней плотности фракции твердых частиц и изменение фракционного состава капельной смеси. Расчеты выполнены на основе математической модели динамики полидисперсной многоскоростной и многотемпературной газовзвеси с лагранжевой моделью коагуляции частиц с относительным скоростным скольжением. Математическая модель реализовывала континуальную методику моделирования динамики многофазных сред, позволяющую учесть межфазное взаимодействие. Динамика несущей среды описывается системой уравнений Навье – Стокса для сжимаемого теплопроводного газа с межфазным теплообменом и обменом импульсом. Учитывались сила аэродинамического сопротивления, сила присоединенных масс и динамическая сила Архимеда. Дисперсная фаза состояла из ряда фракций, различающихся размером дисперсных включений и плотностью материала частиц. Гидро- и термодинамика каждой дисперсной фракции описывалась системой уравнений гидродинамического типа, включающей в себя уравнение неразрывности, уравнения сохранения составляющих импульса и уравнение сохранения тепловой энергии, записанные с учетом межфазного теплового и силового взаимодействия. Система уравнений динамики многоскоростной многотемпературной полидисперсной системы интегрировалась явным конечно-разностным методом Мак-Кормака. Монотонность решения обеспечивалась схемой нелинейной коррекции. В результате проведения расчетов получены временные и пространственные зависимости, характеризующие эволюцию состава многофракционной системы при смешении потоков различной дисперсности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):419-433
419-433
Информатика
Дендрограммы электроэнцефалограмм и их характеризация на основе метрик
Аннотация
Дендрограммы, полученные из электроэнцефалограмм, изучаются как максимальные префиксные коды. Дендрограмма задает распределение на пространстве целых 2-адических чисел и представляет разбиение с точностью до множества нулевой меры Хаара на шары ненулевых радиусов. Предложены неархимедова и архимедова метрики для характеризации дендрограмм, ассоциированных с ЭЭГ заданных ментальных классов. Для более надежного отличия одного ментального класса от другого предлагается использовать расстояние Громова – Хаусдорфа между несвязными компактными пространствами: неархимедовым в виде объединения 2-адических шаров, представленных ветвями дедрограммы, с одной стороны, и архимедовым в виде (толстого) канторова множества — с другой.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):434-441
434-441
Юбилеи
Наследие Вагнера. К 90-летию кафедры геометрии Саратовского государственного университета
Аннотация
Статья посвящена 90-летию кафедры геометрии Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, основанной выдающимся математиком, заслуженным деятелем науки Виктором Владимировичем Вагнером. Приводится краткое описание научного творчества В. В. Вагнера и основных достижений в области геометрии, алгебры и их применений. Отмечаются перспективы дальнейшего развития основанных им научных направлений исследования.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(3):442-453
442-453