On a new approach to identifying inhomogeneous mechanical properties of elastic bodies

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A new approach to solving the problem of identifying the variable characteristics of an inhomogeneous elastic isotropic body is presented. The most common formulations of problems on determining variable mechanical characteristics (the Lamé parameters and density are functions of coordinates) are presented. The inverse problem of identifying properties, due to its significant nonlinearity, is usually solved iteratively, with each iteration requiring the solution of a direct problem for some initial approximation and a system of the Fredholm integral equations of the first kind with smooth kernels to find corrections. This approach, in turn, requires specifying the displacement field in the area in which the loading occurs. An approach is proposed on the basis of which it is possible to carry out reconstruction by obtaining additional information about the displacement field in an area other than the loading area in a narrower search space. An example of such a reconstruction is presented in the problem of longitudinal vibrations of an inhomogeneous rod, where the amplitude-frequency response is specified at the internal point of the rod, and the loading is implemented at the end. The results of computational experiments on the reconstruction of the elasticity modulus and density in the form of two functions of the longitudinal coordinate are presented.

About the authors

Alexander Ovanesovitsch Vatulyan

Southern Federal University

ORCID iD: 0000-0003-0444-4496
SPIN-code: 3865-2040
Scopus Author ID: 7003867984
ResearcherId: E-7371-2015
105/42 Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don 344006, Russia

Victor Olegovych Yurov

Southern Mathematical Institute — the Affiliate of Vladikavkaz Scientific Centre of Russian Academy of Sciences; Southern Federal University

ORCID iD: 0000-0002-4689-4068
ResearcherId: T-6108-2019
53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia

References

  1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1986. 288 с.
  2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма – Лиувилля и их приложения. Москва : Наука, 1984. 240 c.
  3. Kravchenko V. V. Direct and Inverse Sturm – Liouville Problems. A Method of Solution. Cham : Birkhauser, 2020. 154 p. (Frontiers in Mathematics). https://doi.org/10.1007/978-3-030-47849-0
  4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва : Наука, 1984. 262 с.
  5. Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск : Наука, 1990. 304 с.
  6. Bui H. D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. Boca Raton, FL : CRC Press, 1994. 224 p.
  7. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Cham : Springer, 2017. 406 p. (Applied Mathematical Sciences, vol. 127). https://doi.org/10.1007/978-3-319-51658-5
  8. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity // Inverse Problem. 2005. Vol. 21. P. 1–50. https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/2/R01
  9. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. Москва : Физматлит, 2007. 384 с.
  10. Bal G. Introduction to Inverse Problems. New York : Columbia University, 2012. 205 p.
  11. Neto F. D. M., Neto A. J. S. An Introduction to Inverse Problems with Applications. Berlin : Springer, 2013. 255 p.
  12. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Изд-во Сибирского отд. РАН, 2018. 512 с.
  13. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1990. 230 с.
  14. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Москва : Едиториал УРСС, 2004. 480 с.
  15. Ватульян А. О. Коэффициентные обратные задачи механики. Москва : Физматлит, 2019. 272 с.
  16. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термомеханики. Ростов-на-Дону ; Таганрог : Изд-во Южного федерального ун-та, 2022. 176 с.
  17. Бондаренко А. Н., Бугуева Т. В., Дедок В. А. Нейросетевой подход к решению обратных задач теории аномальной диффузии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 3 (67). С. 3–14. https://doi.org/10.17377/sibjim.2016.19.301, EDN: WHKNXJ
  18. Богачев И. В., Ватульян А. О., Дударев В. В. Об одном методе идентификации свойств многослойных мягких биологических тканей // Российский журнал биомеханики. 2013. Т. 17, № 3. С. 37–48. EDN: RDMLID
  19. Sinkus R., Lorenzen J., Schrader D., Lorenzen M., Dargatz M., Holz D. High-resolution tensor MR elastography for breast tumour detection // Physics in Medicine & Biology. 2000. Vol. 45, iss. 6. P. 1649–1664. https://doi.org/10.1088/0031-9155/45/6/317
  20. Manduca A., Oliphant T. E., Dresner M. A., Mahowald J. L., Kruse S. A., Amromin E., Felmlee J. P., Greenleaf J. F., Ehman R. L. Magnetic resonance elastography: Non-invasive mapping of tissue elasticity // Medical Image Analysis. 2001. Vol. 5, iss. 4. P. 237–254. https://doi.org/10.1016/s1361-8415(00)00039-6
  21. Сарвазян А. П. Низкочастотные акустические характеристики биологических тканей // Механика полимеров. 1975. № 4. С. 691–695.
  22. Sarvazyan A., Goukassian D., Maevsky G. Elasticity imaging as a new modality of medical imaging for cancer detection // Proceedings of an International Workshop on Interaction of Ultrasound with Biological Media. Valenciennes, France, 1994. P. 69–81.
  23. Sarvazyan A. P., Rudenko O. V., Swanson S. D., Fowlkes J. B., Emelianov S. Y. Shear wave elasticity imaging: A new ultrasonic technology of medical diagnostics // Ultrasound in Medicine & Biology. 1998. Vol. 24, iss. 9. P. 1419–1435. https://doi.org/10.1016/S0301-5629(98)00110-0, EDN: LFDAJV
  24. Arani A., Manduca A., Ehman R. L., Huston III J. Harnessing brain waves: A review of brain magnetic resonance elastography for clinicians and scientists entering the field // The British Journal of Radiology. 2021. Vol. 94. Art. 20200265. https://doi.org/10.1259/bjr.20200265
  25. Perkowski Z., Czabak M. Description of behaviour of timber-concrete composite beams including interlayer slip, uplift, and long-term effects: Formulation of the model and coefficient inverse problem // Engineering Structures. 2019. Vol. 194. P. 230–250. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2019.05.058
  26. Dudarev V. V., Vatulyan A. O., Mnukhin R. M., Nedin R. D. Concerning an approach to identifying the Lame parameters of an elastic functionally graded cylinder // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43, iss. 11. P. 6861–6870. https://doi.org/10.1002/mma.6428
  27. Vatulyan A. O., Dudarev V. V., Mnukhin R. M. Identification of characteristics of a functionally graded isotropic cylinder // International Journal of Mechanics and Materials in Design. 2021. Vol. 17, iss. 2. P. 321–332. https://doi.org/10.1007/s10999-020-09527-5
  28. Vatulyan A. O., Yurov V. O. On the reconstruction of material properties of a radially inhomogeneous cylindrical waveguide // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2021. Vol. 44, iss. 6. P. 4756–4769. https://doi.org/10.1002/mma.7067
  29. Ватульян А. О., Юров В. О. Об определении механических характеристик стержневых элементов из функционально-градиентных материалов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2021. № 4. С. 52–63. https://doi.org/10.31857/S0572329921040139, EDN: BPXTHE
  30. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. Москва : Физматлит, 2007. 223 с. EDN: UGLKIJ

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».