Том 85, № 3 (2021)

В работе получена нижняя оценка скорости сходимости многоточечных аппроксимаций Паде функций, голоморфно продолжаемых с компакта в объединение областей, границы которых обладают определенным свойством симметрии. Полученная оценка смыкается с доказанной ранее верхней оценкой той же величины.Библиография: 22 наименования.

Описана структура собственных голоморфных отображений кратности выше единицы ограниченных областей Рейнхарта в $\mathbb C^2$ на двумерные комплексные многообразия.Библиография: 21 наименование.

Получен критерий равномерной приближаемости функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в $\mathbb{R}^2$ (частный случай гармонических приближений не выделяется).Критерий формулируется в терминах единственной (скалярной) емкости Харви и Полкинга, связанной со старшим коэффициентом разложения в ряд типа Лорана (для хорошо изученного случая не сильно эллиптических уравнений соответствующая емкость тривиальна).В доказательстве применяются усовершенствованная схема Витушкина, специальные геометрические конструкции и методы теории сингулярных интегралов. Рассматриваемая задача, в силу неоднородности фундаментальных решений сильно эллиптических операторов в $\mathbb{R}^2$, технически сложнее аналогичной задачи в $\mathbb{R}^d$, $d>2$.Библиография: 19 наименований.

В работе рассматриваются нелокальные функционалы энергии, заданные на множестве вероятностных мер на плоскости как сумма свертки, описывающей взаимодействие, и квадратичного ограничения. Ядро взаимодействия имеет вид $-\log|z|+\alpha x^2/|z|^2$, $z=x+iy$, где $-1<\alpha<1$. Оно анизотропно, если не считать кулоновского случая $\alpha=0$. Дается короткое компактное доказательство известного и удивительного утверждения о том, что единственным минимизатором такого функционала энергии является нормированная характеристическая функция области, ограниченной эллипсом с горизонтальной полуосью $\sqrt{1-\alpha}$ и вертикальной полуосью $\sqrt{1+\alpha}$. При $\alpha \to 1^-$ обнаружено, что единственным минимизатором соответствующего функционала энергии является полукруговое распределение на вертикальной оси (этот результат был ранее получен некоторыми из авторов данной статьи в связи с вопросом о взаимодействии дислокаций). В начале работы дается простейшее возможное изложение хорошо известных основных фактов данной теории, чтобы сделать доказательства доступными для читателей, незнакомых с предметом.Библиография: 13 наименований.

Знаменитая гипотеза о якобиане остается открытой даже в размерности $2$. В настоящей работе она изучается с помощью расширения класса полиномиальных отображений до квазиполиномиальных. Показано, что любое возможное необратимое полиномиальное отображение с ненулевым постоянным якобианом преобразуется некоторой последовательностью элементарных преобразований к специальному приведенному виду.Библиография: 15 наименований.

Показано, что модельная поверхность ростка голоморфно однородного CR-многообразия также голоморфно однородна. Для типа по Блуму–Грэму ростка голоморфно однородного CR-многообразия получены ограничения на кратности.Библиография: 6 наименований.

Аппроксимации по мере используются для решения асимптотической задачи Дирихле на произвольных открытых множествах, а также для демонстрации того обстоятельства, что многие функции, в том числе дзета-функция Римана, универсальны в смысле сходимости по мере. Выдвигается предположение о связи этих результатов с гипотезой Римана.Библиография: 12 наименований.

В работе определен новый класс аналитических в единичном круге и непрерывных в замкнутом круге функций переменной гладкости. Для функций из нового класса построена теория внешне-внутренней факторизации Неванлинны, учитывающая влияние внутреннего сомножителя на внешнюю функцию.Библиография: 19 наименований.