Том 83, № 4 (2019)

Пусть $\mathcal{C} \subset [0,1]$ – множество, удовлетворяющее условию убывающих цепей. Доказывается что любая точка накопления обьемов лог-канонических поверхностей $(X, B)$ с коэффициентами в $ \mathcal{C} $ может быть реализована как объем лог-канонической поверхности с объемным и численно эффективным дивизором $K_X+B$ и с коэффициентами в $\overline{\mathcal{C}} \cup \{1 \}$, таким образом что по крайней мере один коэффициентов лежит в $\operatorname{Acc} (\mathcal{C}) \cup \{1 \}$. Как следствие, если $\overline {\mathcal{C}} \subset \mathbb{Q}$, то все точки накопления объемов являются рациональными числами, что доказывает гипотезу Блахе. Для множества стандартных коэффициентов $\mathcal{C}_2=\{1-1/{n} \mid n\in\mathbb{N} \} \cup \{1 \}$ доказывается, что минимальная точка накопления находится между $1/{(7^2 \cdot 42^2)}$ и $1/{42^2}$.Библиография: 14 наименований.

В данной статье изучаются ограниченные производные категории тор-эквивариантных когерентных пучков на гладких торических многообразиях и стэках Делиня–Мамфорда. Строятся и описываются полные исключительные наборы в данных категориях. Показывается, что эти категории зависят только от класса относительно $\mathrm{PL}$-гомеомеорфизмов для соответствующего симплициального комплекса. Библиография: 14 наименований.

Доказана бирациональная сверхжесткость полных пересечений Фано коразмерности $k$ индекса $1$ в комплексном проективном пространстве ${\mathbb P}^{M+k}$ при $k\ge 20$ и $M\ge 8k\log k$, имеющих, самое большее, мультиквадратичные особенности. Показано, что коразмерность дополнения к множеству бирационально сверхжестких полных пересечений в естественном пространстве параметров не меньше, чем $(M-5k)(M-6k)/2$. Доказательство основано на технике гиперкасательных дивизоров в сочетании с недавно открытым $4n^2$-неравенством для особенностей полного пересечения. Библиография: 23 наименования.

В настоящей статье развиты геометрические методы для решения одной гипотезы Гротендика–Серра, доказанной для случая конечных полей в [1]. Оказывается, что эти методы позволяют решить некоторые когомологические задачи. В частности, для любого предпучка $S^1$-спектров $E$ на категории $k$-гладких схем все его пучки Нисневича $\mathbf{A}^1$-стабильных гомотопических групп являются строго гомотопически инвариантными. Это показывает, что $E$ является $\mathbf{A}^1$-локальным, если и только если все его пучки Нисневича обычных стабильных гомотопических групп являются строго гомотопически инвариантными. Если поле $k$ бесконечно, то этот результат получен Морелем в [2]. Однако, если поле $k$ конечно, то доказательсво Мореля не работает, так как оно опирается на одну геометрическую лемму Габбера, опубликованное доказательство которой отсутствует. Мы не пользуемся отмеченной леммой Габбера. Вместо этого мы развиваем технику совершенных троек, определенных в [3]. Указанная техника инспирирована техникой стандартных троек Воеводского [4].Библиография: 13 наименований.

Мы классифицируем гладкие трехмерные многообразия Фано с бесконечными группами автоморфизмов.Библиография: 55 наименований.