Том 63, № 10 (2023)

В работе предложен сеточно-характеристический численный метод для решения многомерного уравнения переноса на неструктурированной расчетной сетке с порядком выше первого без использования вспомогательных точек на ребрах и гранях. Отсутствие вспомогательных точек на ребрах и гранях позволяет упростить топологию расчетной сетки при ее движении, что актуально при решении динамических задач механики деформируемого твердого тела. Для повышения порядка аппроксимации в работе используется аналог расширения сеточного шаблона, реализованный для неструктурированной сетки. В работе приведены результаты тестирования предложенной численной схемы для непрерывно дифференцируемых, непрерывных, разрывных решений. Библ. 14. Фиг. 7. Табл. 5.

Рассматривается задача определения собственных частот и форм поперечных колебаний для уравнения Бернулли–Эйлера с переменными коэффициентами. Такого рода задачи возникают как для усложненной геометрии колеблющегося тела, так и в случае функционально градиентных материалов или накопления повреждаемости в классическом упругом материале. С использованием метода разложения в ряды Пеано построены решения краевых задач. При широких предположениях показана равномерная сходимость рядов Пеано и получены оценки остаточных членов. Приведены примеры численной реализации предложенной процедуры для изгибных колебаний стержня с определенными параметрами переменного поперечного сечения (геометрической неоднородности) и распределения модуля упругости (физической неоднородности). Численные примеры ориентированы на оценку геометрических и упругих свойств образцов при экспериментальном исследовании усталостной прочности сплавов при высокочастотных циклических испытаниях, основанных на общем принципе точечного резонансного нагружения. Предложенный метод решения задач о резонансных колебаниях для уравнения Бернулли–Эйлера может быть использован при проектировании новых перспективных схем циклических испытаний и математическом моделировании процессов усталостного разрушения при высокочастотных резонансных вибрациях. Библ. 30. Фиг. 8.

Рассматривается модель Уилкинса для упругопластической среды. Проводится теоретический анализ разрывных решений в предположении одномерной одноосной деформации. В этом приближении материальные уравнения для девиатора тензора напряжений интегрируются точно, и остается только консервативная система законов сохранения, что позволяет найти класс точных автомодельных решений модели. Для решения расширенной неконсервативной системы уравнений разрабатывается численный метод годуновского типа с использованием приближенного римановского солвера, построенного на основе интегрирования уравнений по фазовому пути. Предлагается специальный выбор пути, который сводит двухволновое HLL решение задачи Римана к линейным уравнениям. Приводится сравнение численных и точных аналитических решений на ряде задач с различными режимами ударно-волновых процессов. Библ. 19. Фиг. 6. Табл. 4.

В работе рассматривается пример решения трехмерной прямой задачи ультразвукового контроля в рельсовом полотне, представляемого в виде линейно-упругой среды, с использованием сеточно-характеристического метода на криволинейной структурированной химерной и регулярных структурированных сетках. Между химерной и регулярными сетками используется взаимная интерполяция, учитывающая особенности перехода от криволинейной к регулярной сеткам в трехмерном пространстве. Предложен аналитический алгоритм для построения химерной сетки. Приведены анализ сходимости разработанных численных алгоритмов в зависимости от изменения шага по пространственным направлениям и сравнительный анализ полноволновых полей модуля скорости распространения возмущения от источника. Библ. 43. Фиг. 17.

Рассмотрены пространственно-трехмерные модели процессов транспорта взвесей в прибрежных морских системах. Данные процессы имеют ряд характерных особенностей: высокую концентрацию взвесей (например, при осуществлении дампинга грунта на дно), значительное превышение ареала распространения взвесей по отношению к глубине акватории, сложный гранулометрический (многофракционный) состав взвеси, взаимные переходы между отдельными фракциями. Для описания распространения взвесей могут быть использованы начально-краевые задачи диффузии–конвекции–реакции. Предлагается на временной сетке, построенной для исходной непрерывной начально-краевой задачи, выполнить преобразование правых частей с “запаздыванием”, чтобы для функций – концентраций взвесей, входящих в правые части уравнений задачи и не относящихся к той фракции, для которой сформулирована начально-краевая задача для уравнения диффузии–конвекции, значения этих концентраций определялись на предыдущем временном слое. Такой подход позволяет упростить последующую численную реализацию каждого из уравнений диффузии–конвекции. Кроме того, если число фракций три и более, появляется возможность на каждом временном шаге организовать независимое (параллельное) вычисление каждой из концентраций. Ранее были определены достаточные условия существования и единственности решения начально-краевой задачи транспорта взвесей, а также построена и исследована консервативная устойчивая разностная схема, которая численно реализована для модельных и реальных задач. В настоящей работе приведены результаты исследования сходимости решения преобразованной “с запаздыванием” задачи к решению исходной начально-краевой задачи транспорта взвесей. Доказано, что разности решений начально-краевых задач (исходной и преобразованной, с “запаздыванием” в функциях правых частей на временной сетке) стремятся к нулю при стремлении параметра \(\tau \) (шага временной сетки) к нулю со скоростью \(O\left( \tau \right)\) в норме гильбертова \({{L}_{2}}\). Библ. 24.

Ранее был предложен метод построения начального приближения для решения обратной задачи акустики градиентным методом на основе сверточной нейронной сети, обученной предсказывать распределение скоростей в среде по волновому отклику (И.Б. Петров, А.С. Станкевич, А.В. Васюков, Докл. РАН, 2023). Показано, что нейронная сеть, обученная на откликах от простых слоистых структур, может быть успешно использована при решении обратной задачи для существенно более сложной модели. В настоящей статье мы изложим алгоритмы обработки данных об эпидемиях и пример применения нейронных сетей для моделирования распространения COVID-19 в Новосибирской области, основанный только на данных. Построена нейросеть NN-COVID-19, которая использует данные об эпидемии. Показано, что нейронная сеть на порядок лучше, чем SEIR-HCD, предсказывает распространение COVID-19 на 5 дней. При появлении нового штамма (Омикрон) после переобучения нейросеть способна предсказать распространение эпидемии более точно. Отметим, что нейросеть использует не только эпидемиологические данные, но и социальные (праздники, введение и соблюдение ограничительных мер и т.п.). Предложенный подход позволяет уточнять математические модели. Сравнение кривых, построенных по SEIR-HCD модели и нейронной сетью, показывает, что графики решения прямой задачи практически совпадают с графиками, построенными нейросетью. Это позволяет уточнить коэффициенты дифференциальной модели. Библ. 19. Фиг. 12. Табл. 2.