Том 27, № 138 (2022)

В более ранних статьях авторов [А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, «О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем», Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] и [А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, «Новые свойства рекуррентных движений и предельных множеств динамических систем», Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 5-15] фактически установлено взаимоотношение движений динамических систем в компактных метрических пространствах. Целью данной работы является распространение этих результатов на случай динамических систем в произвольных метрических пространствах. Именно, пусть Σ - произвольное метрическое пространство. В настоящей статье, прежде всего, установлено новое важнейшее свойство, связывающее в таком пространстве произвольные и рекуррентные движения. Далее, на основании этого свойства показано, что если положительная (отрицательная) полутраектория некоторого движения f(t, p) , расположенного в Σ , относительно компактна, то ω - (α -) предельное множество данного движения - компактное минимальное множество. Из этого следует, что в пространстве Σ любое нерекуррентное движение является или положительно (отрицательно) уходящим, или положительно (отрицательно) асимптотическим по отношению к соответствующему минимальному множеству.

Рассматривается задача покрытия данного выпуклого компакта гомотетичным образом другого выпуклого компакта с заданным центром гомотетии, вычисляется коэффициент гомотетии. Задача имеет старую историю и тесно связана с вопросами о чебышевском центре, задачах о транслятах и другими задачами вычислительной геометрии. Методы аппроксимации многогранниками и другие аппроксимационные методы не работают в пространстве уже умеренной размерности (более 5 на ПК). Мы предлагаем подход, основанный на применении метода проекции градиента, который гораздо слабее чувствителен к размерности, чем аппроксимационные методы. Мы выделяем классы множеств, для которых удается доказать линейную скорость сходимости градиентного метода, т. е. сходимость со скоростью геометрической прогрессии с положительным знаменателем строго меньше 1. Эти множества должны быть сильно выпуклыми и обладать в определенном смысле гладкостью границы.

Построена нормированная алгебра ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в комплексном нормированном пространстве, состоящем из элементов декартова квадрата вещественного банахова пространства. В этой алгебре выделено множество тех операторов, у каждого из которых действительная и мнимая части коммутируют между собой. Доказана обратимость любого оператора из этого множества, у которого сумма квадратов его действительной и мнимой частей является непрерывно обратимым оператором; найдена формула для обратного оператора. Для оператора из указанного множества исследован вид его регулярных точек: найдены условия на комплексное число, при выполнении которых это число является регулярной точкой данного оператора; получена формула для резольвенты комплексного оператора. Рассмотрено множество неограниченных линейных комплексных операторов, действующих в вышеупомянутом комплексном нормированном пространстве. В этом множестве выделено подмножество тех операторов, у каждого из которых области определения действительной и мнимой частей совпадают между собой. Для оператора из указанного подмножества найдены условия на комплексное число, при которых это число принадлежит резольвентному множеству данного оператора; получена формула для резольвенты оператора. Введено понятие полуограниченного комплексного оператора как оператора, у которого одна компонента является ограниченным, а другая неограниченным оператором. Отмечено, что первое и второе резольвентные тождества для комплексных операторов доказываются аналогично случаю действительных операторов.