Том 24, № 3 (2024)
Математика
О полугруппах отношений с операцией прямоугольного произведения
Аннотация
Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над отношениями, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Теория алгебры отношений является существенной частью современной алгебраической логики и имеет многочисленные приложения в теории полугрупп. При рассмотрении классов алгебры отношений естественно возникают следующие проблемы: найти систему аксиом для этих классов, найти базис тождеств (квазитождеств) для многообразий (квазимногообразий), порожденных этими классами. В статье обозначенные проблемы решаются для класса полугрупп отношений с бинарной ассоциативной операцией прямоугольного произведения, результатом которой является декартово произведение первой проекции первого отношения на вторую проекцию второго.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):320-329
320-329
Конструкции некоторых схем разделения секрета на основе линейных кодов
Аннотация
Среди пороговых схем разделения секрета существуют совершенные схемы со свойством идеальности (например, схема Шамира). Для случая схем разделения секрета с произвольной структурой доступа можно построить совершенную схему для любой структуры доступа (например, схему Ито – Саито – Нишизеки, схему Бенало – Лейхтера), но в общем случае такая схема свойством идеальности обладать уже не будет. В работе для некоторых классов структур доступа приводится конструкция совершенных схем разделения секрета со свойством идеальности на основе линейных кодов. Также приводится конструкция совершенных проверяемых схем разделения секрета для любой структуры доступа, для которой существует линейных код, реализующий эту структуру.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):330-341
330-341
Новое доказательство гипотезы Кшижа при n = 3
Аннотация
Цель статьи — решение задачи о точной оценке модуля третьего тейлоровского коэффициента на классе голоморфных ограниченных не обращающихся в нуль в единичном круге функций (далее класс ограниченных не обращающихся в нуль функций). Задачу о точной оценке модулей всех тейлоровских коэффициентов в зависимости от номера коэффициента на этом классе обычно называют проблемой Кшижа. Рассмотрим класс нормированных голоморфных ограниченных в единичном круге функций (далее класс ограниченных функций). Проблема коэффициентов на этом классе ставится так: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на последовательность комплексных чисел для того, чтобы степенной ряд с коэффициентами из этой последовательности был рядом Тейлора некоторой функции из класса ограниченных функций. В данной работе на основе решения проблемы коэффициентов для класса ограниченных функций решается задача получения точных оценок модулей первых трех тейлоровских коэффициентов на классе ограниченных функций. Указано на возможность визуализации первых трех тел коэффициентов подкласса класса ограниченных функций, состоящего из функций с действительными коэффициентами. Далее решается задача получения точной верхней оценки модуля третьего тейлоровского коэффициента на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций путем перехода к функционалу над классом ограниченных функций. На основе упомянутых выше оценок на классе ограниченных функций удалось получить функционал, мажорирующий исходный. После чего задача сведена к поиску условного максимума функции трех действительных переменных с ограничениями типа неравенств, что позволило применить стандартные методы дифференциального исчисления для получения этого основного результата.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):342-350
342-350
Расходящиеся ряды и обобщенная смешанная задача для волнового уравнения
Аннотация
На основе законности перестановки операций суммирования и интегрирования тригонометрического ряда Фурье дается решение обобщенной смешанной задачи по методу Фурье для однородного волнового уравнения с нулевой начальной скоростью и условиями закрепления на концах. Решение дается в виде ряда, сходящегося с экспоненциальной скоростью. В случае классического решения этот ряд является таким решением. Результаты статьи усиливают полученные ранее.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):351-358
351-358
Механика
Методология «Планирование – Моделирование – Прогнозирование» для предоперационного планирования в травматологии-ортопедии
Аннотация
Предоперационное планирование хирургического лечения является важным этапом подготовки к хирургическому лечению в травматологии-ортопедии, позволяющим акцентировать внимание на особенностях клинического случая, предупредить возможные проблемы во время проведения операции и снизить риски послеоперационных осложнений. Ведущим способом диагностики для дальнейшего планирования хирургического лечения на сегодняшний день является проведение лучевых исследований, прежде всего рентгенографии и компьютерной томографии. Результаты лучевых исследований позволяют достаточно качественно оценить зону интереса, спланировать требуемую степень коррекции и размещение фиксирующих металлоконструкций и эндопротезов. В то же время при планировании врач по большей части опирается на знания норм анатомических соотношений и структур. А в случае множества возможных вариантов лечения для выбора врач опирается на собственный врачебный опыт. В настоящей статье представлена разработанная обобщающая методология предоперационного планирования в травматологии-ортопедии, включающая биомеханический анализ и методы накопления и обработки количественных данных клинических случаев наряду с привычными для врачей методами предоперационного планирования. Методология сводит в единую систему критерии оценки успешности лечения, применяя три класса критериев: геометрические (анатомические), биомеханические и клинические. Методология позволяет врачу провести биомеханическое моделирование предполагаемых вариантов лечения и количественно оценить их на основе сравнения напряженно-деформированных состояний, возникающих в системе «кость – имплантат» в результате каждого из запланированных вариантов. Методология позволяет определять успешные варианты лечения, а также прогнозировать изменения качества жизни пациента после лечения. Представленная методология включает механизм накопления количественных данных о клинических случаях и контроля качества используемых биомеханических моделей.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):359-380
359-380
Об идентификации двумерного закона изменения плотности упругого неоднородного цилиндра
Аннотация
В рамках линейной теории упругости с использованием модели изотропного тела сформулирована задача об установившихся колебаниях неоднородного полого цилиндра. Колебания цилиндра вызываются нагрузкой, приложенной к боковой поверхности, на торцах реализованы условия скользящей заделки. Переменные свойства материала описываются параметрами Ламе и плотностью, которые изменяются по радиальной и продольной координатам. Решение прямой задачи расчета колебаний цилиндра построено с помощью метода конечных элементов, реализованного в пакете FlexPDE, отмечены его основные преимущества. Для исследования влияния переменных свойств на значения резонансных частот колебаний и компонент поля перемещений рассмотрены законы изменения этих свойств в общем виде, используемом в современных работах для моделирования функционально-градиентных материалов. На основе проведенных численных расчетов исследована степень влияния амплитудных значений каждого из параметров Ламе и плотности на первую резонансную частоту и поле смещений. Также представлены графики, демонстрирующие влияние вида закона изменения плотности на значения компонент поля перемещений. Сформулирована новая коэффициентная обратная задача об определении функции распределения плотности в стенке цилиндра по данным о поле перемещений, измеренном в конечном наборе точек внутри области рассмотрения при фиксированной частоте. Отмечены основные трудности при реализации процедуры реконструкции на практике. Для увеличения точности вычисления первых и вторых производных от рассчитанных в конечно-элементном пакете двумерных функций, которые используются при решении обратной задачи, предложен подход, основанный на алгоритме локально взвешенной регрессии. Представлены результаты вычислительных экспериментов по решению обратной задачи, которые демонстрируют возможность использования предложенного метода для восстановления различных видов двумерных законов изменения плотности. Даны практические рекомендации по реализации наиболее эффективной процедуры реконструкции.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):381-393
381-393
Гиперболический погранслой в окрестности фронта волны сдвига в оболочках вращения
Аннотация
В работе строятся асимптотическим методом уравнения гиперболического погранслоя в тонких оболочках вращения в малой окрестности фронта волны сдвига (с учетом его геометрии) при ударных торцевых воздействиях нормального типа. Используется специальная система координат, явно выделяющая узкую зону действия погранслоя. В этой системе координатные линии, определяемые нормалями к срединной поверхности, заменяются линиями, образующими поверхность переднего фронта волны сдвига. Асимптотическая модель геометрии переднего фронта волны предполагает, что эти образующие формируются повернутыми нормалями к срединной поверхности. Определены главные компоненты рассматриваемого типа напряженно-деформированного состояния: нормальное перемещение и касательное напряжение. Разрешающее уравнение рассматриваемого погранслоя является гиперболическим уравнением второго порядка с переменными коэффициентами относительно нормального перемещения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):394-401
394-401
Управление качением динамически симметричного шара по наклонной вращающейся плоскости
Аннотация
В работе исследуется динамика качения динамически симметричного тяжелого шара (или тяжелой сферической оболочки) по наклонной шероховатой плоскости (платформе), вращающейся с постоянной или периодической скоростью вокруг перпендикулярной к плоскости оси, проходящей через некоторую фиксированную точку этой плоскости. В точке контакта шара с опорной плоскостью наложены кинематические (неголономные и голономные) ограничения. Построены уравнения движения шара и доказана ограниченность квадрата вектора скорости геометрического центра шара в случае постоянной скорости вращения плоскости при любом угле наклона и в случае периодической скорости вращения плоскости, расположенной горизонтально. Причем в случае постоянной скорости вращения плоскости решения найдены аналитически. На основе численного интегрирования показано, что для периодической скорости вращения плоскости и угле наклона, отличном от нуля, квадрат вектора скорости геометрического центра шара неограниченно возрастает. Предложены два управления углом наклона вращающейся плоскости пропорционально проекциям вектора скорости геометрического центра шара на координатные оси, лежащие в опорной плоскости. Для случая постоянной скорости вращения плоскости проведено качественное исследование уравнений движения, аналитически найдены параметры управления, при которых квадрат скорости геометрического центра шара будет ограничен и при которых будет неограниченно возрастать. Приведены результаты численного интегрирования для случая периодической скорости вращения плоскости и показана эффективность этого управления в контексте достижения ограниченности квадрата скорости геометрического центра шара. Полученные результаты проиллюстрированы, построены траектории точки контакта и графики искомых механических параметров.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):402-414
402-414
О перенормировке приближённого решения уравнений ориентации орбитальной системы координат
Аннотация
В кватернионной постановке рассмотрена задача математического моделирования движения космического аппарата (КА) по эллиптической орбите. Управлением является ограниченный по модулю вектор ускорения от реактивной тяги, направленный ортогонально плоскости орбиты КА. Движение центра масс КА описано с помощью кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбитальной системы координат. Построено приближённое аналитическое решение кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбитальной системы координат в виде равномерно пригодного асимптотического разложения по степеням эксцентриситета орбиты КА (малого параметра). Для устранения вековых слагаемых в этом разложении был применён метод перенормировки. Учёт известного решения уравнения ориентации орбитальной системы координат для случая, когда орбита КА является круговой, позволил упростить вид вышеуказанного разложения. Найдены нелинейные частоты колебаний каждой из компонент искомого кватерниона. Аналитические преобразования были выполнены с помощью пакета символьной алгебры SymPy. Для проведения численного моделирования движения КА была составлена программа на языке Python. Проведено сравнение расчётов по аналитическим формулам, полученным в работе (при отсутствии вековых слагаемых), и ранее полученных результатов при наличии вековых слагаемых. Приведён пример моделирования управляемого движения КА для случая, когда начальная ориентация орбитальной системы координат соответствует ориентации орбиты одного из спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС. Построены графики изменения погрешности определения модуля и компонент кватерниона ориентации орбитальной системы координат. Показано, что устранение вековых слагаемых с помощью метода перенормировки позволило уменьшить ошибку определения указанного модуля при увеличении количества оборотов КА вокруг Земли. Проведён анализ полученного приближённого аналитического решения. Установлены особенности и закономерности процесса движения КА по эллиптической орбите.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):415-422
415-422
Информатика
Методы получения информации биомедицинского мониторинга уровня оксигенации и артериального давления с использованием встроенных сенсоров смартфонной техники
Аннотация
Статья посвящена актуальной проблеме неинвазивного самостоятельного мониторинга показателей оксигенации и артериального давления пациентами. Представлен обзор имеющихся перспективных подходов по мониторингу рассматриваемых биомаркеров, а также продемонстрированы основные проблемы, как связанные с применением рассматриваемых подходов, так и обусловленные самой выборкой для испытаний.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):423-431
423-431
Выделение признаков на изображениях на основе интегральных преобразований при решении задач классификации фрагментов фотоснимков
Аннотация
В статье предложен способ вычисления признаков на изображении для формирования обучающего набора данных при решении различных задач классификации видеоснимков. Данный метод предполагает использование известных интегральных преобразований — преобразование Радона и функции Стеклова. Приводится сравнение предложенного способа со сверточными нейронными сетями как по проценту правильного предсказания, так и по времени его выполнения. В качестве тестовой задачи рассмотрена задача определения наличия изображения автомобиля на фотоснимке.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):432-441
432-441
Метод повышения качества обнаружения атак на веб-приложения с применением предобученных моделей естественного языка
Аннотация
Исследуется использование методов глубокого обучения для повышения производительности защитных экранов веб-приложений (WAF). Описывается конкретный метод повышения качества функционирования защитных экранов и приводятся результаты его тестирования на публично доступных данных CSIC 2010. Большинство защитных экранов веб-приложений работают на основе правил, которые были составлены экспертами. При работе сетевые экраны проверяют HTTP-запросы, которыми обмениваются клиент и сервер для обнаружения атак и блокирования потенциальных угроз. Ручное составление правил требует времени экспертов, а распространяемые готовые наборы правил не учитывают специфику конкретных пользовательских приложений, поэтому допускают много ложноположительных срабатываний и пропускают много сетевых атак. В последние годы использование предварительно обученных языковых моделей привело к значительным улучшениям в разнообразном наборе задач обработки естественного языка, поскольку они способны выполнять перенос знаний. В статье описывается адаптация этих подходов на сферу информационной безопасности, т.е. использование предварительно обученной языковой модели в качестве средства извлечения признаков для сопоставления HTTP-запроса с вектором признаков. Эти векторы используются для обучения классификатора. Предложено решение, которое состоит из двух этапов. На первом этапе создается глубокая предобученная языковая модель на основе нормальных HTTP-запросов к веб-приложению. На втором этапе эта модель используется в качестве средства извлечения признаков и обучается с помощью одноклассового классификатора. Оба этапа совершаются для каждого приложения. Экспериментальные результаты показывают, что предлагаемый подход значительно превосходит подходы классического Mod-Security, основанного на правилах, настроенных с помощью OWASP CRS, и не требует участия эксперта по безопасности для определения правил срабатывания.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):442-451
442-451
Обнаружение источников сетевых атак на основе выборки данных
Аннотация
В статье определены правила нахождения пороговых значений для основных сетевых переменных, используемых для обнаружения сетевых вторжений в условиях ограниченной выборки данных. Технология sFlow оперирует с ограниченной выборкой пакетов, причем анализироваться может один пакет из 50, но это значение может доходить и до 5000. Наш основной вывод состоит в том, что произведение порогового значения и разрешения выборки остается постоянной величиной. В работе определен размер максимального разрешения, при котором атака с заданным порогом может быть обнаружена. На основании собранных во время эксперимента данных было проведено тестирование данной гипотезы. С учетом ошибки эксперимента эта гипотеза подтверждается.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):452-462
452-462
Приложения
Памяти Якова Григорьевича Сапункова
Аннотация
Статья посвящена выдающемуся ученому-механику и педагогу Якову Григорьевичу Сапункову (04.11.1938–23.10.2020), важные научные результаты которого простираются от гиперзвуковой аэродинамики, механики жидкости и методов вычислений до теории оптимального управления, механики космического полета и теории бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС). Дается обзор его научной деятельности и приведен список наиболее значимых работ.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024;24(3):463-471
463-471