Дифференциальные уравнения

Изучаются интегрально ограниченные решения дифференциального уравнения $\mathscr{A}(x)=z,$ где $\mathscr{A}$ -- линейный дифференциальный оператор порядка $l,$ определённый на функциях $x\colon\mathbb{R}\to H$ $(\mathbb{R}=(-\infty,\infty),$ $H$ -- конечномерное евклидово пространство). Правая часть $z$ -- интегрально ограниченная функция на $\mathbb{R}$ со значениями в $H,$ удовлетворяющая неравенству $(\psi(t), z(t))\geq\delta|z(t)|,$ $t\in\mathbb{R},$ $\delta > 0.$ Приводятся условия на оператор $\mathscr{A}$ и функцию $\psi \colon\mathbb{R}\to H,$ гарантирующие для рассматриваемых решений $x$ обратное неравенство вида $\int_{\tau}^{\tau+1}|x^{(l)}(t)| dt\leq c\int_{\tau-1}^{\tau+2}|x(t)|dt,$ в котором постоянная $c$ не зависит от выбора действительного числа $\tau$ и функции $x.$

Рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка на сети, являющееся моделью системы стержней Эйлера--Бернулли. На основе метода монотонных итераций установлено существование решения краевой задачи на графе для этого уравнения, при этом использовались положительность функции Грина и принцип максимума для соответствующего линейного дифференциального уравнения. Приведён пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Рассматривается задача о вытекающих волнах неоднородной волноведущей структуры, покрытой слоем графена, которая сводится к краевой задаче для продольных компонент электромагнитного поля в пространствах Соболева. Для определения решения используется вариационная формулировка задачи. Вариационная задача сводится к изучению оператор-функции. Исследуются свойства оператор-функции, необходимые для анализа её спектральных свойств. Доказываются теоремы о дискретности спектра и о распределении характеристических чисел оператор-функции на комплексной плоскости.

Для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом рассматривается смешанная задача в первом квадранте, в которой на пространственной полуоси задаются условия Коши, а на временн\'{о}й полуоси -- условие Неймана. Решение строится методом характеристик в неявном аналитическом виде как решение некоторых интегральных уравнений. Исследуются разрешимость этих уравнений, а также зависимость решений от гладкости начальных данных. Для рассматриваемой задачи доказывается единственность решения и устанавливаются условия, при выполнении которых существует её классическое решение. При невыполнении условий согласования строится задача с условиями сопряжения, а при недостаточно гладких данных -- слабое решение.

Получены явные решения модельного и немодельного интегральных уравнений типа Вольтерры с двумя граничными и одной внутренней сингулярными точками, изучены свойства полученных решений. В случае, когда решение модельного уравнения содержит произвольную постоянную, выяснена корректная постановка задач с условиями, заданными на сингулярных многообразиях.

Рассматриваются пологие упругие оболочки с заданной круговой границей. Ищется осесимметричная форма оболочки, которая минимизирует вес при заданной основной частоте колебаний оболочки. С помощью полученной формулы для линейной части приращения частотного функционала оценивается кратность минимальной собственной частоты колебаний оболочки. Устанавливается также дифференцируемость по Фреше частотного функционала и получаются условия оптимальности минимизации веса оболочки при заданной основной частоте колебаний.