ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF DISCRETE LINEAR-QUADRATIC OPTIMAL CONTROL PROBLEMS WITH A SMALL STEP AND WEAK CONTROL IN THE CRITICAL CASE

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

An algorithm is proposed for constructing an asymptotic approximation to the solution of a discrete time weakly controlled linear-quadratic optimal control problem with a small step size in the critical case. The asymptotic expansion consists of a sum of a regular series and two boundary-layer series containing boundary functions in neighborhoods of two fixed end points. The construction of the asymptotic expansion is based on the decomposition of the state space into orthogonal sums of subspaces and the use of the corresponding orthogonal projectors. Explicit relations for determining the terms of the asymptotic expansion of any order are provided. An example illustrating the proposed method is presented.

About the authors

G. A Kurina

Voronezh State University

Email: kurina@math.vsu.ru
Voronezh, Russia

N. T Hoai

Vietnam National University

Email: nguyenthihoai@hus.edu.vn
Hanoi, Vietnam

References

  1. Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н.Н. Моисеев. — М. : Наука, 1981. — 400 c.
  2. Moiseev, N.N., Asimptoticheskie metody nelineinoy mechaniki (Asymptotic Methods of Nonlinear Mechanics), Moscow: Nauka, 1981.
  3. Пропой, А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А.И. Пропой. — М. : Наука, 1973. — 255 с.
  4. Propoy, A.I., Elementy teorii optimal’nykh diskretnykh protsessov (Elements of the Theory of Optimal Discrete Processes), Moscow: Nauka, 1973.
  5. Sage, A.P. Optimum Systems Control / A.P. Sage, C.C. White III. — 2d ed. — Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1977. — 427 p.
  6. Васильева, А.Б. Сингулярно возмущённые уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 108 с.
  7. Vasil’eva, A.B. and Butuzov, V.F., Singulyarno vozmushchennye uravneniya v kriticheskikh sluchayakh (Singularly Perturbed Equations in Critical Cases), Moscow: MSU Press, 1978.
  8. Бутузов, В.Ф. Дифференциальные и разностные системы уравнений с малым параметром в случае, когда невозмущённая (вырожденная) система расположена на спектре / В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева // Дифференц. уравнения. — 1970. — T. 6, № 4. — С. 650–664.
  9. Butuzov, V.F. and Vasil’eva, A.B., Differential and difference systems of equations with a small parameter in the case when the unperturbed (degenerate) system is situated on the spectrum, Differ. Uravn., 1970, vol. 6, no. 4, pp. 650–664.
  10. Курина, Г.А. Проекторный подход к построению асимптотики решения начальных задач для слабо нелинейных дискретных систем с малым шагом в критическом случае / Г.А. Курина, Н.Т. Хоай // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 1. — С. 73–84.
  11. Kurina, G.A. and Hoai, N.T., Projector approach to constructing the asymptotics of solution of initial value problems for weakly nonlinear discrete systems with small step in the critical case, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 1, pp. 74–86.
  12. Глизер, В.Я. Асимптотика решения некоторых дискретных задач оптимального управления с малым шагом / В.Я. Глизер, М.Г. Дмитриев // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 9. — С. 1681–1691.
  13. Glizer, V.Ya. and Dmitriev, M.G., Asymptotics of the solution of some discrete optimal control problems with a small step, Differ. Uravn., 1979, vol. 15, no. 9, pp. 1681–1691.
  14. Васильева, А.Б. Краевая задача для сингулярно возмущённых дифференциальных и разностных систем, когда невозмущённая система находится на спектре / А.Б. Васильева, М.В. Фаминская // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 4. — С. 738–742.
  15. Vasil’eva, A.B. and Faminskaya, M.V., A boundary value problem for singularly perturbed differential and difference systems when the unperturbed system lies on the spectrum, Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 4, pp. 738–742.
  16. Цыганов, Г.А. Асимптотика решения разностных систем условно устойчивого типа : дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Г.А. Цыганов. — М., 1973. — 171 с.
  17. Tsyganov, G.A., Asymptotics of the solution of difference systems of conditionally stable type, Cand. Sci. (Phys.Math.) Dissertation, Moscow, 1973.
  18. Гаипов, М.А. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (формализм) / М.А. Гаипов // Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. наук. — 1990. — № 1. — С. 9–16.
  19. Gaipov, M.A., Asymptotics of the solution of a nonlinear discrete optimal control problem with a small step without control constraints (formalism), Izv. Akad. Nauk TSSR, Ser. FTKh i GN, 1990, no. 1, pp. 9–16.
  20. Моисеев, Н.Н. Математические задачи системного анализа / Н.Н. Моисеев. — М. : Наука, 1981. — 488 с.
  21. Moiseev, N.N., Matematicheskie zadachi sistemnogo analiza (Mathematical Problems of System Analysis), Moscow: Nauka, 1981.
  22. Дмитриев, М.Г. О некоторых сингулярно возмущённых задачах оптимального управления / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина // Проблемы устойчивости и управления : сб. науч. ст., посвященный 80-летию академика Владимира Мефодьевича Матросова. — М. : Физматлит, 2013. — С. 148–160.
  23. Dmitriev, M.G. and Kurina, G.A., On some singularly perturbed optimal control problems, in Problemy ustoychivosti i upravleniya, Sbornik nauchnykh statey, posvyashchennyy 80-letiyu akademika Vladimira Mefod’evicha Matrosova (Problems of Stability and Control, a Collection of Scientific Articles Dedicated to the 80th Anniversary of Academician Vladimir Mefodyevich Matrosov), Moscow: Fizmatlit, 2013, pp. 148–160.
  24. Kurina, G.A. Discrete singularly perturbed control problems (a survey) / G.A. Kurina, M.G. Dmitriev, D.S. Naidu // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B: Appl. Algorithms. — 2017. — V. 24. — P. 335–370.
  25. Аширбаев, Б.Ы. Алгоритм решения сингулярно-возмущённой дискретной задачи оптимального программного управления / Б.Ы. Аширбаев, Ж.А. Алтымышова // Вестн. Ошского гос. ун-та. Математика. Физика. Техника. — 2024. — № 1 (4). — С. 40–46.
  26. Ashirbaev, B.Y. and Altymyshova, Zh.A., Algorithm for solving a singularly perturbed discrete optimal programmed control problem, Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta, Matematika, Fizika, Tekhnika, 2024, no. 1 (4), pp. 40–46.
  27. Kato, Т. Perturbation Theory for Linear Operators / Т. Като. — Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer-Verlag, 1966. — 640 p.
  28. Horn, R.A. Matrix Analysis / R.A. Horn, C.R. Johnson. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2013. — 643 p.
  29. Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. — Минск : Институт математики НАН Беларуси, 2001. — 400 с.
  30. Gaishun, I.V., Sistemy s diskretnym vremenem (Discrete-Time Systems), Minsk: Institut matematiki NAN Belarusi, 2001.
  31. Kurina, G. Zero-order asymptotic solution of a class of singularly perturbed linear-quadratic problems with weak controls in a critical case / G. Kurina, T.H. Nguyen // Optim. Control Appl. Meth. — 2019. — V. 40, № 5. — P. 859–879.
  32. Данилин, А.Р. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае / А.Р. Данилин, О.О. Коврижных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2022. — Т. 28, № 1. — С. 58–73.
  33. Danilin, A.R. and Kovrizhnykh, O.O., Asymptotics of the solution of a time-optimal control problem with an unbounded target set for a linear system in the critical case, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 58–73.
  34. Курина, Г.А. Асимптотика решения нулевого порядка для одного типа сингулярно возмущённых линейно-квадратичных задач управления в критическом случае / Г.А. Курина, Н.Т. Хоай // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2023. — Т. 29, № 1. — С. 127–142.
  35. Kurina, G.A and Hoai, N.T., Zero-order asymptotics for the solution of one type of singularly perturbed linear–quadratic control problems in the critical case, Proceed. of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, vol. 321, no. Suppl. 1, pp. S154–S169.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».