ON MULTIDIMENSIONAL EXACT SOLUTIONS OF HYPERBOLIC EQUATION WITH MONGE–AMP`ERE OPERATOR

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A reduction method using additive, multiplicative, and functional separation of variables is applied to a hyperbolic equation with the Monge–Ampère operator. Multidimensional exact solutions are obtained, explicitly expressed in terms of elementary and special functions and/or solutions of ordinary differential equations. Examples of exact solutions anisotropic with respect to spatial variables are given.

About the authors

A. A Kosov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of RAS

Email: kosov_idstu@mail.ru
Irkutsk, Russia

E. I Semenov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of RAS

Email: edwseiz@gmail.com
Irkutsk, Russia

References

  1. Полянин, А.Д. Точные решения и редукции нестационарных уравнений математической физики типа Монжа–Ампера / А.Д. Полянин // Вестн. НИЯУ МИФИ. — 2023. — Т. 12, № 5. — С. 276–288.
  2. Polyanin, A.D., Exact solutions and reductions of nonstationary equations of mathematical physics of the Monge–Ampere type, Vestnik Nacional’nogo issledovatel’skogo yadernogo universiteta MIFI, 2023, vol. 12, no. 5, pp. 276–288.
  3. Аксенов, А.В. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа–Ампера магнитной гидродинамики / А.В. Аксенов, А.Д. Полянин // Дифференц. уравнения. — 2024. — Т. 60, № 6. — С. 750–763.
  4. Aksenov, A.V. and Polyanin, A.D., Group analysis, reductions, and exact solutions of the Monge–Amp`ere equation in magnetic hydrodynamics, Differ. Equat., 2024, vol. 60, no. 6, pp. 716–728.
  5. Polyanin, A.D. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Amp`ere type: symmetries, closedform solutions, and reductions / A.D. Polyanin, A.V. Aksenov // Mathematics. — 2024. — V. 12, № 13. — Art. 2127.
  6. Aksenov, A.V. Symmetries, reductions and exact solutions of nonstationary Monge–Amp`ere type equations / A.V. Aksenov, A.D. Polyanin // Mathematics. — 2025. — V. 13, № 3. — Art. 525.
  7. Смирнов, В.В. “Фономы” в двумерных вихревых решетках / В.В. Смирнов, К.В. Чукбар // Журн. эксп. и теор. физики. — 2001. — Т. 120, № 1. — С. 145–155.
  8. Smirnov, V.V. and Chukbar, K.V., “Phonons” in two-dimensional vortex lattices, J. Exper. Theor. Phys., 2001, vol. 93, no. 1, pp. 126–135.
  9. Zaburdaev, V.Yu. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices / V.Yu. Zaburdaev, V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // Plasma Physics Reports. — 2014. — V. 30, № 3. — P. 214–217.
  10. Рахмелевич, И.В. Многомерное неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа–Ампера / И.В. Рахмелевич // Владикавказ. мат. журн. — 2023. — Т. 25, № 1. — С. 64–80.
  11. Rakhmelevich, I.V., Multidimensional non-autonomous evolution equation of Monge–Amp`ere type, Vladikavkaz. Matematicheskiy Zhurnal, 2023, vol. 25, no. 1, pp. 64–80.
  12. Galaktionov, V.A. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics / V.A. Galaktionov, S.R. Svirshchevskii. — Boca Raton : CRC Press, 2007. — 498 p.
  13. Polyanin, A.D. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs / A.D. Polyanin, A.I. Zhurov. — New York : Chapman and Hall/CRC, 2021. — 401 p.
  14. Косов, А.А. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции– диффузии / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 108–122.
  15. Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact multidimensional solutions of a nonlinear system of reaction–diffusion equations, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 106–120.
  16. Косов, А.А. О точных решениях многомерной системы эллиптических уравнений со степенными нелинейностями / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 12. — С. 1619–1640.
  17. Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact solutions of a multidimensional system of elliptic equations with power-law nonlinearities, Differ. Equat., 2023, vol. 54, no. 1, pp. 1627–1649.
  18. Косов, А.А. О многомерных решениях обобщённого уравнения Монжа–Ампера / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2024. — Т. 60, № 10. — С. 1334–1349.
  19. Kosov, A.A. and Semenov, E.I., On exact solutions to multidimensional generalized Monge–Amp`ere equation, Differ. Equat., 2024, vol. 60, no. 10, pp. 1404–1418.
  20. Полянин, А.Д. Уравнения и задачи математической физики / А.Д. Полянин. — 2-е изд. — Ч. 2. — М. : Юрайт, 2023. — 333 c.
  21. Polyanin, A.D., Uravneniya i zadachi matematicheskoy fiziki (Equations and Problems of Mathematical Physics), Part 2, Moscow: Urait, 2023.
  22. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон ; пер. с англ. Х.Д. Икрамова, А.В. Князева, Е.Е. Тартышникова ; под ред. Х.Д. Икрамова. — М. : Мир, 1989. — 655 c.
  23. Horn, R.A. and Johnson, Ch.R., Matrix Analysis, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.
  24. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М. : Наука, 1971. — 576 с.
  25. Kamke, E., Spravochnik po obyknovennym differentsial’nym uravneniyam (Handbook of Ordinary Differential Equations), Moscow: Nauka, 1971.
  26. Зайцев, В.Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. — Ч. 1. — М. : Юрайт, 2023. — 385 c.
  27. Zaitcev, V.F. and Polyanin, A.D., Obyknovennyye differentsial’nyye uravneniya (Ordinary Differential Equations), Part 1, Moscow: Urait, 2023.
  28. Полянин, А.Д. Нелинейные уравнения математической физики и механики. Методы решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. — М. : Юрайт, 2023. — 256 c.
  29. Polyanin, A.D. and Zaitcev, V.F., Nelineynyye uravneniya matematicheskoy fiziki i mekhaniki. Metody resheniya (Nonlinear Equations of Mathematical Physics and Mechanics. Solution Methods), Moscow: Urait, 2023.
  30. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М. : Наука, 1981. — 800 с.
  31. Prudnikov, A.P., Brychkov, Yu.A., and Marichev, O.I., Integrals and Series. Elementary Functions, New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1986.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».