Дифференциальные уравнения
В журнале публикуются оригинальные результаты по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории уравнений в частных производных, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, теории уравнений в конечных разностях, математической теории управления и вариационному исчислению, а также численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений и приложениям указанных теорий к математическому моделированию реальных процессов; обзорные статьи, хроника научной жизни, юбилейные статьи и некрологи.
Журнал ориентирован на математиков, научных работников и инженеров, использующих дифференциальные уравнения в своих исследованиях, на преподавателей, аспирантов и студентов естественно-научных и технических факультетов университетов и вузов.
Журнал является рецензируемым и входит в Перечень ВАК России для опубликования работ соискателей ученых степеней, а также в систему РИНЦ.
Журнал основан в 1965 году.
ISSN (print): 0374-0641
Свидетельство о регистрации СМИ: № 0110211 от 08.02.1993
Учредитель: Отделение информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН, Российская академия наук (РАН)
Главный редактор: Садовничий Виктор Антонович, академик РАН, доктор физ.-мат. наук, ректор МГУ им. М.В. Ломоносова
Число выпусков в год: 12
Входит в: Белый список (1 уровень), перечень ВАК, РИНЦ
Текущий выпуск
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 61, № 9 (2025)
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ПОЛУПОЛОСЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ
Аннотация
Исследован вопрос существования и единственности классического решения смешанной задачи в полуполосе для нелинейного уравнения Лиувилля. Решение представлено в неявном виде как решение интегрального уравнения, разрешимость которого доказана с помощью теоремы Лере–Шаудера, а соответствующая априорная оценка получена с помощью энергетических методов.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1155–1166
1155–1166
ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ–ЛИТТЛВУДА В КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ
Аннотация
Введены новые весовые пространства типа Харди–Литтлвуда непрерывных функций, заданных в областях с кусочно-гладкой границей, и описаны их структурные свойства. Установлено, что таким пространствам принадлежат функции, представимые обобщёнными интегралами типа Коши с однородными степени –1 ядрами. Это открывает возможность использования данных пространств для решений эллиптических систем первого и второго порядков с непрерывными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1167–1182
1167–1182
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Аннотация
Рассмотрено модельное эллиптическое псевдодифференциальное уравнение в многомерном конусе, являющееся прямым произведением конусов меньшей размерности, в пространстве Соболева–Слободецкого. При наличии специальной факторизации символа выписано общее решение уравнения, содержащее произвольные функции из определённых пространств Соболева–Слободецкого. Приведён пример в трёхмерном пространстве, где неизвестные функции определяются с помощью условий Дирихле на части границы сведением к системе линейных интегральных уравнений.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1183-1194
1183-1194
РАЗРЕШИМОСТЬ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ЯДРАМИ
Аннотация
Рассматривается модель динамики популяции одновидового биологического сообщества, предложенная У. Дикманом и Р. Лоу. Изменения в популяции описываются системой интегро-дифференциальных уравнений, которая характеризует динамику пространственных моментов и в состоянии равновесия сводится к нелинейному интегральному уравнению. Исследуется разрешимость этого уравнения, по которому выписывается решение исходной системы, для чего строится нелинейный интегральный оператор и решается задача о нахождении его неподвижной точки. Устанавливаются достаточные условия существования нетривиального решения. Приводится аналитический пример значений биологических параметров, которые удовлетворяют этим условиям.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1195-1206
1195-1206
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНОМ СЛОЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА
Аннотация
Исследованы первые краевые задачи (внутренняя и внешняя) двумерного фильтрационного течения жидкости в неоднородном пористом слое переменных толщины и проницаемости. Заданные дискретные источники течения располагаются в области течения и моделируются сингулярностями (изолированными особыми точками) комплексного потенциала. Граница области течения моделируется произвольным гладким (кусочно-гладким) замкнутым контуром. На границе задаётся функция, характеризующая распределение давления на ней и имеющая разрывы первого рода. Предложен метод регуляризации (сглаживания) краевого условия, позволивший редуцировать задачи к граничному сингулярному интегральному уравнению со слабой особенностью и гладкой правой частью. Данный метод регуляризации применён к решению граничной задачи, моделирующей работу системы скважин в неоднородном слое (пласте) грунта, на контуре питания которого заданное распределение давления (обобщённый потенциал) терпит разрывы первого рода.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1207-1217
1207-1217
1218–1231
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В КЛАССЕ ФУНКЦИЙ С ОСОБЕННОСТЬЮ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
Аннотация
Рассмотрено двумерное гиперсингулярное интегральное уравнение в выпуклой ограниченной области, границей которой является гладкая кривая. Уравнение содержит интегральный оператор с интегралом, понимаемым с смысле конечной части по Адамару. Исследован вопрос существования решений, имеющих степенную особенность в окрестности границы области: решение ищется в классе функций, представляющих собой отношения гладкой функции и корня из расстояния от точки до края. Установлено, что при действии интегрального оператора со степенной полярной особенностью третьего порядка на функцию из класса, в котором ищется решение, возникает функция, непрерывная по Гёльдеру на всей области. Доказано существование решения гиперсингулярного уравнения, имеющего указанную степенную особенность в окрестности границы области, представлено граничное условие, при котором такое решение является единственным.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1232-1253
1232-1253
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА СЛОЕ, ПОКРЫТОМ ГРАФЕНОМ
Аннотация
Рассматривается краевая задача для системы двух однородных уравнений Гельмгольца со смешанными граничными условиями, возникающая в теории рассеяния электромагнитных волн на структурах, покрытых двумерными материалами. Задача сводится к граничному интегральному уравнению на всей числовой прямой с гиперсингулярным интегральным оператором. Введение новых переменных и искомой функции позволяет перейти к интегральному уравнению на отрезке. Для нахождения приближённого решения полученного уравнения предлагается метод коллокации с использованием ряда Фурье–Чебышёва для представления решения, при этом гиперсингулярные интегралы вычисляются аналитически. Доказывается фредгольмовость регуляризованного гиперсингулярного оператора в исследуемом интегральном уравнении.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1254–1271
1254–1271
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ЛОКАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЭФФЕКТАМИ ПАМЯТИ
Аннотация
Рассмотрена задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с разностными ядрами в конечномерном гильбертовом пространстве. Данный класс уравнений возникает при математическом моделировании широкого спектра нестационарных процессов с учётом эффектов памяти, включая, в частности, систему уравнений Максвелла. Для численного решения применён метод сведения исходной нелокальной задачи к эквивалентной системе локальных дифференциальных уравнений первого порядка на основе аппроксимации ядер конечной суммой экспоненциальных функций. Предложены двухслойные операторно-разностные схемы, для которых проведён анализ устойчивости по начальным данным и правой части. Корректность предложенного подхода подтверждена теоретическим анализом.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1272–1285
1272–1285
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ДЛЯ ПАРНЫХ НАНОЧАСТИЦ С УЧЁТОМ КВАНТОВЫХ ЭФФЕКТОВ
Аннотация
Разработан и реализован численный метод решения граничной задачи дифракции на системе парных наночастиц с субнанометровым зазором. Граничная задача дифракции включает в себя систему уравнений Максвелла и мезоскопические граничные условия с параметрами Фейбельмана. Решение задачи построено с помощью математически обоснованного метода дискретных источников с расположением источников для внутреннего поля в комплексной плоскости. Для пары золотых наночастиц проведён численный анализ влияния квантовых эффектов на интенсивность полей в субнанометровом зазоре. Установлено, что квантовые эффекты оказывают существенное влияние на характеристики полей, в частности, снижение амплитуды плазмочного резонанса может достигать 65 %, а величина сдвига его положения в длинноволновую область доходит до 25 нм.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(9):1286–1296
1286–1296