Дифференциальные уравнения
В журнале публикуются оригинальные результаты по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории уравнений в частных производных, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, теории уравнений в конечных разностях, математической теории управления и вариационному исчислению, а также численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений и приложениям указанных теорий к математическому моделированию реальных процессов; обзорные статьи, хроника научной жизни, юбилейные статьи и некрологи.
Журнал ориентирован на математиков, научных работников и инженеров, использующих дифференциальные уравнения в своих исследованиях, на преподавателей, аспирантов и студентов естественно-научных и технических факультетов университетов и вузов.
Журнал является рецензируемым и входит в Перечень ВАК России для опубликования работ соискателей ученых степеней, а также в систему РИНЦ.
Журнал основан в 1965 году.
ISSN (print): 0374-0641
Свидетельство о регистрации СМИ: № 0110211 от 08.02.1993
Учредитель: Отделение информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН, Российская академия наук (РАН)
Главный редактор: Садовничий Виктор Антонович, академик РАН, доктор физ.-мат. наук, ректор МГУ им. М.В. Ломоносова
Число выпусков в год: 12
Входит в: Белый список (1 уровень), перечень ВАК, РИНЦ
Текущий выпуск
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 61, № 11 (2025)
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ПРИЛОЖЕНИЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА ХОПФИЛДА НЕЙРОННОЙ СЕТИ
Аннотация
Исследована порядковая структура множества неподвижных точек монотонного оператора, действующего в частично упорядоченном пространстве. Получены условия устойчивости множества неподвижных точек к изменениям монотонного оператора. На основе этих результатов изучены краевая задача и система управления для дифференциального уравнения нейронной сети — модели типа Хопфилда электрической активности головного мозга с непрерывной и разрывной функциями активации.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1443-1459
1443-1459
КОНЕЧНЫЕ ГРАНИЦЫ, ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И БИФУРКАЦИИ В ТРЁХМЕРНОЙ МОДЕЛИ РАКА
Аннотация
Исследована нелинейная система, описывающая динамику роста рака. Для всех значений параметров системы доказано существование аттрактора и найдены положительно инвариантные множества, которые его содержат. Вычислены оценки конечных границ. Найдены все положения равновесия, доказаны условия их существования и бифуркаций. В пространстве параметров системы определены множества, где эти условия выполняются. Приведены примеры построения пересечений этих множеств с двумерными плоскостями. Вычислены и другие характеристики, связанные с появлением периодических траекторий и хаотической динамики.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1460-1473
1460-1473
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ТРЁХОСНОМ РАСТЕКАНИИ–СТОКЕ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ВЯЗКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация
Исследовано развитие во времени картины малых возмущений, наложенных на трёхосное однородное растекание–сток в неограниченном трёхмерном пространстве ньютоновской неожимаемой жидкости. В предположении, что основное движение стационарно и поле скоростей определяется всего двумя константами, линеаризованная задача относительно возмущений скоростей и давления сведена к спектральной проблеме, когда действительная часть спектрального параметра связана с характером либо экспоненциального затухания, либо роста начальных возмущений. На основе метода интегральных соотношений для квадратичных функционалов проведена верхняя оценка данного параметра. Далее рассмотрен более общий случай нестационарного трёхосного растекания–стока. Выведена верхняя интегральная оценка роста возмущений, в которую входит функция времени, полностью определяемая полем скоростей основного течения жидкости.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1474-1481
1474-1481
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
О РЕКОНСТРУКЦИИ ВОЗМУЩЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ НЕТОЧНОМ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ КООРДИНАТ
Аннотация
Исследована задача приближённого онлайн восстановления неизвестного возмущения, действующего на систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями. В предположении, что часть координат системы измеряется неточно, предложен алгоритм её решения, основанный на комбинации методов управления с обратной связью и методов теории некорректных задач. Установлена сходимость построенных приближений к точному возмущению при подходящем согласовании ошибки измерений и соответствующим образом подобранных сеток для вычислений.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1482-1489
1482-1489
ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ С ДРОБНЫМИ КОИНВАРИАНТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИЗМЕРИМЫМ ПО ВРЕМЕНИ ГАМИЛЬТОНИАНОМ
Аннотация
Изучены обобщённые в минимаксном смысле решения задач Коши для (наследственного) уравнения Гамильтона–Якоби с дробными коинвариантными производными при краевом условии на правом конце в случае, когда гамильтониан уравнения зависит от временной переменной измеримым образом. Доказаны теоремы о существовании и единственности минимаксного решения и теорема о непрерывной зависимости этого решения от изменений гамильтониана и краевого функционала. Дано приложение полученных результатов к исследованию дифференциальной игры для динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1490-1509
1490-1509
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РЕКОНСТРУКЦИИ ВОЗМУЩЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Аннотация
Рассматривается задача реконструкции неизвестного возмущения нелинейной системы, состоящей из дифференциальных и алгебраических уравнений. Обсуждаются два случая: возмущение входит в систему линейно и нелинейно. В случае линейного вхождения возмущения задача имеет две особенности. Во-первых, предполагается, что измеряется (с ошибкой) в дискретные моменты времени только часть фазовых координат системы, а именно координаты, описываемые дифференциальными уравнениями. Во-вторых, относительно неизвестного возмущения, действующего на систему, известно лишь, что оно является элементом пространства функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы, т.е. может быть неограниченным. Указанные предположения ведут к невозможности точного восстановления. Учитывая данную особенность, конструируется устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения задачи, который основан на сочетании элементов теории некорректных задач с известным в теории позиционных дифференциальных игр методом экстремального сдвига. Аналогичный алгоритм строится и для общего случая нелинейного вхождения возмущения.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1510-1526
1510-1526
О ЗАДАЧЕ ЦЕЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ МОНОТОННОЙ СИСТЕМОЙ НА ОСНОВАНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Аннотация
Решена задача управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейной правой частью, обладающей свойством квазимонотонности по внедиагональным элементам. Уравнения содержат управляющие параметры и неопределённости (помехи), на возможные значения которых наложены поточечные ограничения. Рассмотрена задача управления на конечном интервале времени с целью перевода состояния системы в заданное целевое множество. Текущее состояние системы неизвестно, а для формирования стратегии управления доступны лишь априорные оценки начального состояния, а также результаты неполных и неточных результатов измерений, поступающих в режиме реального времени. Для решения задачи использована известная общая схема, согласно которой последовательно решены три подзадачи: приближённое построение информационных множеств системы, множеств разрешимости и, наконец, синтез управлений. В данной работе эта схема успешно реализована для рассматриваемого специального класса нелинейных систем. Доказаны теоремы о внешних интервальных оценках информационных множеств, внутренних оценках множеств разрешимости, а также о достаточных условиях разрешимости поставленной задачи управления. Получены формулы для позиционного управления, зависящего от так называемой обобщённой позиции, формируемой на основании доступной информации о системе и результатах измерений. Возможность применения полученных теоретических результатов для решения конкретных задач управления подтверждена модельным примером.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1527-1545
1527-1545
КАСКАДНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬЮ
Аннотация
Рассмотрена задача построения асимптотического наблюдателя для динамической системы с неопределённостью. Разработан метод, позволяющий применять ранее построенный каскадный наблюдатель для более широкого класса динамических систем, в частности, сняты требования управляемости матриц системы и устойчивости нулевой динамики.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1546-1553
1546-1553
ОРБИТАЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ
Аннотация
Исследована задача перевода нелинейной динамической системы управления из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Разработан подход, основанный на построении такой декомпозиции системы, при которой указанная задача преобразуется в две связанные задачи Коши: одна с граничными условиями в начальный момент, а другая — в конечный момент. Рассмотрен случай, когда граничные условия задачи налагаются только на часть переменных состояния. Для преобразования системы в декомпозируемую форму использованы обратимые преобразования наиболее общего вида — орбитальные эквивалентности. Приведённый нетривиальный пример демонстрирует возможность реализации указанного подхода.
Дифференциальные уравнения. 2025;61(11):1554-1565
1554-1565
ХРОНИКА
1566-1584