Том 217 (2022)

Получены необходимые и достаточные условия существования единственного реше­ния задачи Шоуолтера—Сидорова—Дирихле для одного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка. Для рассматриваемой начально-краевой задачи построено приближенное решение по методу Галеркина в виде разложения по системе собственных функций однород­ной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Доказательство *-слабой сходимости галеркинских приближений к точному решению основано на априорных оценках, теоремах вложения и лемме Гронуолла.

Представлен обзор результатов по развитию метода угловых пограничных функций для нелинейных уравнений. В прямоугольнике рассматривается сингулярно возмущенное параболическое уравнение ${\epsilon }^2\left(a^2\frac{{д}^{2}u}{дx^2}-\frac{дu}{дt}\right)=F(u, x, t, \epsilon )$ с краевыми условиями первого рода. Функция F предполагается нелинейной по переменной и. Наиболее подробно исследован случай, когда в угловых точках прямоугольника функция F является квадратичной или кубической относительно переменной и. Исследуется возможность построения полного асимптотического разложения решения задачи при б ^ 0.

В работе изучается математическая модель макроэкономики, известная под названием «спрос-предложение» или «модель рынка». Классический вариант этой модели не имеет циклов. Показано, что введение запаздывания приводит к возможности появления в соответствующем нелинейном дифференциальном уравнении периодических решений, в том числе устойчивых. Найдена минимальная величина запаздывания, превышение которой может привести к возникновению циклов. При анализе соответствующего дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом использованы методы теории динамических систем с бесконечномерным пространством начальных условий. Получены асимптотические формулы для найденных периодических решений.

На ограниченном отрезке времени рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона—Якоби эволюционного типа в случае, когда размерность фазовой переменной равна единице. Гамильтониан зависит от фазовой и импульсной переменных, при этом зависимость от импульсной переменной экспоненциальна. Область, в которой рассматривается уравнение, разбивается на три подобласти. Внутри каждой из трех областей гамильтониан непрерывен, а на границах этих областей терпит разрыв по фазовой переменной. На основе минимаксного/вязкостного подхода вводится непрерывное обобщенное решение рассматриваемой задачи, доказывается его существование. Обобщенное решение является единственным, если задача рассматривается в ограниченной по фазовой переменной области.

Статья посвящена исследованию фазовой динамики линейных систем дробного порядка с управлением. Наиболее подробно рассматриваются двумерные системы с сосредоточенными параметрами в случаях, когда операторы дробного дифференцирования в определяющих уравнениях понимаются в смысле Капуто—Фабрицио. Также рассматриваются аналогичные системы, моделируемые уравнениями с операторами Атанганы—Балеану и Прабхакара. Получены и исследованы аналитические решения определяющих уравнений и вычислены граничные траектории систем, определяющие область допустимых значений фазовых координат системы. Проанализирована возможность постановки l-проблемы моментов для рассматриваемых систем и её разрешимость. Приведён пример решения данной проблемы в случае, когда управление является существенно ограниченной функцией на отрезке.

Работа является завершающей частью обзора результатов, касающихся квантового подхода к некоторым классическим аспектам некоммутативных алгебр. Первая часть: Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022. — 213. — С. 110-144. Вторая часть: Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022. — 214. — С. 107-126. Третья часть: Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022. — 215. — С. 95-128. Четвертая часть: Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022. — 216. — С. 153-171.