Convergence of an approximate solution of the Showalter-Sidorov-Dirichlet problem for the modified Boussinesq equation
- Authors: Bychkov E.V.1
-
Affiliations:
- Южно-Уральский государственный университет
- Issue: Vol 217 (2022)
- Pages: 11-19
- Section: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/270680
- DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-217-11-19
- ID: 270680
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we obtain necessary and sufficient conditions for the existence of a unique solution of the Showalter-Sidorov-Dirichlet problem for a second-order, semilinear Sobolev-type equation. For the initial-boundary-value problem considered, using the Galerkin method, we construct an approximate solution as an expansion in the system of eigenfunctions of the homogeneous Dirichlet problem for the Laplace operator. The proof of the *-weak convergence of the Galerkin approximations to the exact solution is based on a priori estimates, embedding theorems, and the Gronwall lemma.
About the authors
E. V. Bychkov
Южно-Уральский государственный университет
Author for correspondence.
Email: bychkovev@susu.ru
Russian Federation
References
- Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Новое уравнение для описания неупругого взаимодействия нелинейных локализованных волн в диспергирующих средах// Письма в ЖЭТФ. —2011. — 39,№8.— С. 469-472.
- Богатырева Е. А., Манакова Н. А. Численное моделирование процесса неравновесной противоточной капиллярной пропитки// Ж. вычисл. мат. мат. физ. —2016. — 56, № 1. —С. 125-132.
- Замышляева А. А. Математические модели соболевского типа высокого порядка// Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. модел. прогр. —2014. — 7, № 2. —С. 5-28.
- Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. —М. : Мир, 1972.
- Манакова Н. А., Богатырева Е. А. О решении задачи Дирихле—Коши для уравнения Баренблатта— Гильмана// Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Мат. —2014. — 7. —С. 52-60.
- Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. —М.: Физматлит, 2007.
- Свиридюк Г. А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений// Диффер. уравн. — 1987. — 23, № 9. — С. 1637—1639.
- Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоуолтера—Сидорова как феномен уравнений соболевского типа// Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Мат. — 2010. — 3, № 1. — С. 104-125.
- Свиридюк Г. А., Замышляева А. А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка// Диффер. уравн. — 2006. — 42, № 2. — С. 255^2 22(50.
- Свиридюк Г. А., Сукаева Т. Г. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева// Диффер. уравн. — 1990. — 26, № 2. — С. 250—258.
- Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980.
- Чистяков В. Ф., Чистякова Е. В. Применение метода наименьших квадратов для решения линейных дифференциально-алгебраических уравнений// Сиб. ж. вычисл. мат. — 2013. — 16, № 1. — С. 81-95.
- Bogolubsky I. L. Some examples of inelastic soliton interaction// Comput. Phys. Commun. — 1977. — 13, № 2. — P. 49-55.
- Bychkov E. V., Zamyshlyaeva A. A. Numerical solution of Showalter-Sidorov and Cauchy problems of ion-acoustic waves propagation mathematical model// J. Phys. Conf. Ser. — 2021. — 1847, № 1. — 012001.
- Clarcson P. A., LeVeque R. J., Saxton R. Solitary wave interactions in elastic rods// Stud. Appl. Math. — 1986. — 75, № 1. — P. 95-122.
- Hartman P. Ordinary Differential Equations. — New York-London-Sydney: Wiley, 1964.
- Keller A. V. On the computational efficiency of the algorithm of the numerical solution of optimal control problems for models of Leontieff type// J. Comput. Eng. Math. — 2015. — 2, № 2. — P. 39-59.
- Shafranov D. E., Kitaeva O. G. The Barenblatt-Zheltov-Kochina model with the Showalter-Sidorov condition and additive white noise in spaces of differential forms on Riemannian manifolds without boundary// Global Stochast. Anal. — 2018. — 5, № 2. — P. 145-159.
- Showalter R. E. The Sobolev equation, I// Appl. Anal. — 1975. — 5, № 1. — P. 15-22.
- Showalter R. E. The Sobolev equation, II// Appl. Anal. — 1975. — 5, № 2. — P. 81-89.
- Wang S., Chen G. Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation// J. Math. Anal. Appl. — 2002. — 274. — P. 846-866.
- Xu Runzhang, Liu Yacheng Global existence and blow-up of solutions for generalized Pochhammer-Chree equations// Acta Math. Sci. — 2010. — 30, № 5. — P. 1793-1807.
- Zamyshlyaeva A. A., Lut A. V. Numerical investigation of the Boussinesq-Love mathematical models on geometrical graphs// Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. модел. прогр. — 2017. — 10, № 2. — С. 137-143.
- Zamyshlyaeva A. A., Manakova N. A., Tsyplenkova O. N. Optimal control in linear Sobolev type mathematical models// Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. модел. прогр. — 2020. — 13, № 1. — С. 5-27.
- Zhang W, Ma W. Explicit solitary wave solutions to generalized Pochhammer-Chree equations// Appl. Math Mech. — 1999. — 20, № 6. — P. 625-632.
Supplementary files
