Том 512, № 1 (2023)

В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и вырожденного в решении вида

\(F(u,\varepsilon ) = {{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} + u{{u}_{x}} + \varepsilon {{u}^{2}} - f(x,t) = 0,\)            (1)

где \(F:\Omega \to C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(T > 0\), \(\Omega = {{C}^{2}}([0,\pi ] \times [0,T]\,)\,\mathbb{R}\) и \(u(0,t) = u(\pi ,t) = 0\), \(u(x,0) = \varphi (x)\), \(f(x,t) \in C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(\varphi (x) \in C[0,\pi ]\). Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра ε с осциллирующими начальными условиями вида \(\varphi (x) = k\sin x\), где k –некоторая, вообще говоря, зависящая от ε, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), которому соответствует \(k = k{\kern 1pt} * = 0\) и при каких начальных условиях на значения k возможно построение аналитического приближения этого решения при малых ε.

Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида \(u(x,t) = v(t)u(x)\), где \(v(t) = c{{e}^{{ - t}}}\), \(u(x) \in {{\mathcal{C}}^{2}}([0,\pi ])\). В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), так как \({\text{Im}}F_{u}^{'}(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) \ne Z = \mathcal{C}([0,\pi ] \times [0,T])\). Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории p-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение \(F(u,\varepsilon )\) является 3-регулярным в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), т.е. p = 3.

Предложен обобщенный метод поиска оптимального управления амплитудой одномерных колебаний в окрестности положения равновесия для склерономной многомерной механической системы с трением. Колебательная степень свободы системы не поддается непосредственному управлению. На ее движение влияют другие, непосредственно управляемые степени свободы. В число непосредственно управляемых могут входить как позиционные, так и циклические координаты. Метод не использует сопряженных переменных в смысле принципа максимума Л.С. Понтрягина и не увеличивает размерность исходной системы дифференциальных уравнений движения. На примере конкретной колебательной механической модели с сухим и вязким трением продемонстрирована эффективность применения предложенного метода.

Рассмотрена пространственная ограниченная круговая задача трех тел в нерезонансном случае. Изучение эволюции орбиты спутника проводится на основе схемы Гаусса: исследуются усредненные уравнения движений в пространстве оскулирующих элементов. В качестве невозмущенной орбиты берется кеплеровский эллипс с фокусом в основном теле (Солнце), когда большая полуось эллипса меньше радиуса орбиты внешней планеты (внутренняя задача). Показано, что дважды усредненная возмущенная силовая функция задачи допускает, на основе применения формулы Парсеваля, явное аналитическое представление с помощью рядов с коэффициентами, выраженными через гипергеометрические функции Гаусса, Клаузена. Исследование поведения этой функции на кривых неаналитичности показало, что ряды являются асимптотическими. Для редуцированной системы с одной степенью свободы построены фазовые портреты колебаний в плоскости кеплеровских элементов e, \(\omega \) во втором и четвертом приближениях. Показано, что в четвертом приближении существенно усложняется топология фазового портрета по сравнению с первым и вторым приближениями, при условии, что константа \({{c}_{1}}\) интеграла Лидова–Козаи принадлежит интервалу (0, 0.382).

Доказана повышенная суммируемость градиента решения задачи Зарембы в ограниченной липшицевой области на плоскости для неоднородного уравнения p-Лапласа.

В работе рассматривается вопрос о выборе начального приближения при решении задачи восстановления распределения скоростей в гетерогенной сплошной среде с помощью методов градиентной оптимизации. Для описания поведения среды используется система уравнений акустики, для решения прямой задачи используется конечно-разностная схема. В качестве метода градиентной оптимизации используется L-BFGS-B. Для вычисления градиента функционала ошибки по параметрам среды используется метод сопряженных переменных состояния. Построение начального приближения для градиентного метода выполняется при помощи сверточной нейронной сети, обученной предсказывать распределение скоростей в среде по волновому отклику от нее. В работе показано, что нейронная сеть, обученная на откликах от простых слоистых структур, может быть успешно использована при решении задачи инверсии для существенно более сложной модели Мармузи.

В рамках развития теории скрытых колебаний рассмотрена задача определения границы глобальной устойчивости и выявления на ней скрытых участков, соответствующих нелокальному рождению скрытых колебаний. Для системы управления фазовой синхронизацией с пропорционально-интегрирующим фильтром и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора предложены эффективные методы выявления бифуркаций потери глобальной устойчивости, получения аналитических формул для бифуркационных значений и построения тривиальных и скрытых участков границы глобальной устойчивости.

В работе показано, что одномерный конечнозонный оператор Шрёдингера может быть получен предельным переходом из разностного оператора второго порядка, который коммутирует с некоторым разностным оператором нечетного порядка, коэффициенты этих разностных операторов являются функциями на прямой и зависят от малого параметра. При этом спектральная кривая разностных операторов не зависит от малого параметра и совпадает со спектральной кривой оператора Шрёдингера.

Разработан метод численного решения нелинейного уравнения, описывающего диффузионный перенос энергии излучения. Метод основан на введении в параболическое уравнение второй производной по времени с малым параметром и явной разностной схеме. Явная аппроксимация исходного уравнения позволяет реализовать на ее основе алгоритм, эффективно адаптируемый к архитектуре различных высокопроизводительных вычислительных систем. Новая схема обеспечивает, сравнительно с исходной схемой, более крупный шаг интегрирования по времени и достаточно высокое разрешение структуры решения, обеспечивая второй порядок точности. Предложен эвристический подход выбора параметров трехслойной разностной схемы. Перспективной областью приложений разработанного метода могут быть задачи физики плазмы и астрофизики.