Том 27, № 1 (2025)
- Год: 2025
- Выпуск опубликован: 31.03.2025
- Статей: 6
- URL: https://journals.rcsi.science/2079-6900/issue/view/19733
- DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202501
Весь выпуск
Математика
О методе решения нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами
Аннотация
Представленная работа посвящена развитию итерационных методов решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами. Предложен новый подход к построению их решений, основанный на использовании метода последовательных приближений и полиномиальной интерполяции функций на отрезке $[-1,\,1]$. При этом исходное интегральное уравнение сведено к уравнению типа Вольтерра, в котором неизвестная функция подлежит определению на отрезке $[-1,\,1]$. В качестве начального приближения принимается свободный член рассматриваемого уравнения. На каждой итерации метода последовательных приближений осуществлено представление ядра интегрального уравнения в виде частичной суммы ряда по ортогональным на отрезке $[-1,\,1]$ многочленам Чебышева. Коэффициенты в записанном разложении найдены с использованием ортогональности системы векторов, образованных значениями этих многочленов в нулях многочлена со степенью, равной числу неизвестных коэффициентов. Путем интерполяции по полученным значениям функции решения в узлах Чебышева на каждой итерации произведено приближение искомого решения. В работе также выполнено построение решения интегрального уравнения, свободный член которого имеет точку разрыва первого рода. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность предложенного подхода.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):11-24
11-24
Фундаментальные представления ортогональной алгебры Ли и новые простые подалгебры неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли
Аннотация
В работе для векторного пространства $V$ размерности $n$ над совершенным полем $K$ характеристика два с заданной невырожденной ортогональной формой рассматривается действие ортогональной алгебры Ли $\mathfrak{o}(V)$ на внешних степенях пространства $V$. Внешняя алгебра отождествляется с алгеброй срезанных многочленов от $n$ неизвестных, а внешние степени как модули над $\mathfrak{o}(V)$ - с однородными подпространствами неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли $P(n)$ относительно скобки Пуассона, соответствующей ортонормированному базису пространства переменных. Доказывается, что все внешние степени стандартного представления алгебры Ли $\mathfrak{o}(V)$ неприводимы и попарно неэквивалентны. Относительно подалгебры $so(V)$, $n= 2l+1$ или $n= 2l$, существует $l$ попарно неэквивалентных фундаментальных представлений в пространствах $\Lambda^{r}V$, $r= 1, \ldots, l$. Все они допускают невырожденную инвариантную ортогональную форму и неприводимы при $n= 2l+1$. При $n= 2l$ представления $so(V)$ на $\Lambda^{r}V$, $r= 1, \ldots, l-1$ неприводимы, а пространство $\Lambda^{l}V$ имеет единственное нетривиальное собственное инвариантное подпространство $M$, которое является максимальным изотропным подпространством относительно инвариантной формы. Найдены две исключительные простые подалгебры Ли $P_{1}(6)$, $P_{2}(6)$ в $P(6)$, размерности $2^{5}-1$ и $2^{6}-1$, соответственно, содержащие подмодуль $M$, которые существуют только в случае 6 неизвестных.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):25-33
25-33
Об одном универсальном критерии неподвижной точки
Аннотация
Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие «биполярный тип эндоморфизма» группоида (или просто «биполярный тип»). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):34-48
34-48
Групповая классификация нелинейного уравнения теплопроводности с дробно-дифференциальным малым двухфазным запаздыванием
Аннотация
В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным. Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробно-дифференциальным уравнениям.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):49-68
49-68
О подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц $4$-го и $5$-го порядков обобщённой жордановой клетке
Аннотация
В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т.,е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга $3$ с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга $4$ и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно $1$, то эта матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка $n$ и ранга $n - 1$ подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):69-80
69-80
Гипотеза Кшижа и выпуклые однолистные функции
Аннотация
Найдены точные оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе $B$ ограниченных не обращающихся в ноль в единичном круге функций $f.$ Получено два типа оценок: при "больших" значениях $|f(0)|$ и при "малых" значениях $|f(0)|.$ Первый тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем больше $|f(0)|,$ тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Второй тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем меньше $|f(0)|,$ тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Оба типа оценок получены при помощи методов теории подчинённых функций и теоремы Каратеодори-Тёплица для класса Каратеодори. Это стало возможным благодаря найденной связи между коэффициентами выпуклых однолистных функций (класс $S^0$) и коэффициентами мажорирующих функций изучаемых подклассов класса $B.$ Указаны границы применимости метода в зависимости от $|f(0)|$ и от номера коэффициента. Дано приложение полученных результатов к теории многочленов Лаггера. Полученные результаты сравниваются с известными ранее. Методы, изложенные здесь могут быть применены на произвольных классах подчинённых функций.
Журнал Средневолжского математического общества. 2025;27(1):81-96
81-96