Том 85, № 5 (2021)

Получены широкие условия, при которых распределения однородных функций от гауссовских и более общих случайных величин имеют ограниченные плотности или даже плотности ограниченной вариации и плотности с конечной информацией Фишера. Аналогичные результаты получены для выпуклых функций. Даны приложения к максимумам квадратичных форм.Библиография: 33 наименования.

Рассматриваются уравнения Клейна–Гордона с постоянными или переменными коэффициентами в $\mathbb{R}^d$, $d\ge2$, и изучается задача Коши со случайными начальными данными. Исследуется распределение $\mu_t$ случайного решения в моменты времени $t\in\mathbb{R}$. Доказывается сходимость корреляционных функций меры $\mu_t$ к пределу при $t\to\infty$. Выводятся явные формулы для предельных корреляционных функций и плотности потока энергии (в среднем) в терминах начальной ковариации. Кроме того, доказывается слабая сходимость $\mu_t$ к предельной мере при $t\to\infty$. Эти результаты применяются к случаю, когда начальная случайная функция в некоторых бесконечных “частях” пространства имеет гиббсовское распределение с различными температурами. В этом случае найдены состояния, в которых предельная плотность потока энергии не обращается в нуль. Таким образом, для изучаемой модели построен новый класс стационарных неравновесных состояний.Библиография: 20 наименований.

Классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. До сих пор эта проблема была далека от полного решения. Удивительный результат был получен в статье [1] для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над $\mathbb{Q}$, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. С учетом результатов статьи [1] в этой статье полностью решена проблема классификации многочленов $f$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант.Библиография: 29 наименований.