On the classification problem for polynomials $f$ with a periodic continued fraction expansion of $\sqrt{f}$ in hyperelliptic fields

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The classical problem of the periodicity of continued fractions for elements of hyperelliptic fieldshas a long and deep history. This problem has up to now been far from completely solved.A surprising result was obtained in [1] for quadratic extensions defined by cubic polynomialswith coefficients in the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers: except for trivial cases there areonly three (up to equivalence) cubic polynomials over $\mathbb{Q}$ whose square root has a periodic continued fraction expansion in the field $\mathbb{Q}((x))$ of formal power series.In view of the results in [1], we completely solve the classification problem for polynomials$f$ with periodic continued fraction expansion of $\sqrt{f}$ in elliptic fields with the field ofrational numbers as the field of constants.

About the authors

Vladimir Petrovich Platonov

Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: platonov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Gleb Vladimirovich Fedorov

Lomonosov Moscow State University; Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences

Email: glebonyat@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Lecturer

References

  1. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Матем. сб., 209:4 (2018), 54–94
  2. E. Artin, “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. I”, Math. Z., 19:1 (1924), 153–206
  3. W. W. Adams, M. J. Razar, “Multiples of points on elliptic curves and continued fractions”, Proc. London Math. Soc. (3), 41:3 (1980), 481–498
  4. T. G. Berry, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math. (Basel), 55:3 (1990), 259–266
  5. W. M. Schmidt, “On continued fractions and diophantine approximation in power series fields”, Acta Arith., 95:2 (2000), 139–166
  6. В. П. Платонов, “Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел”, УМН, 69:1(415) (2014), 3–38
  7. В. П. Платонов, “Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах”, Докл. РАН, 430:3 (2010), 318–320
  8. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “Группы $S$-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 354–376
  9. В. В. Беняш-Кривец, В. П. Платонов, “Группы $S$-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби”, Матем. сб., 200:11 (2009), 15–44
  10. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “$S$-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 465:5 (2015), 537–541
  11. В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда”, Докл. РАН, 471:6 (2016), 640–644
  12. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “$S$-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей”, Докл. РАН, 470:3 (2016), 260–265
  13. Г. В. Федоров, “Об ограниченности длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел”, Чебышевский сб., 20:4 (2019), 357–370
  14. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях”, Докл. РАН, 475:2 (2017), 133–136
  15. D. S. Kubert, “Universal bounds on the torsion of elliptic curves”, Proc. London Math. Soc. (3), 33:2 (1976), 193–237
  16. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, Ю. Н. Штейников, “О конечности числа эллиптических полей с заданными степенями $S$-единиц и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 488:3 (2019), 237–242
  17. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 474:5 (2017), 540–544
  18. A. J. van der Poorten, Xuan Chuong Tran, “Periodic continued fractions in elliptic function fields”, Algorithmic number theory (Sydney, 2002), Lecture Notes in Comput. Sci., 2369, Springer, Berlin, 2002, 390–404
  19. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 248–260
  20. Г. В. Федоров, “О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полем”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 495:1 (2020), 78–83
  21. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, УМН, 75:4(454) (2020), 211–212
  22. В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над числовыми полями”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 493:1 (2020), 32–37
  23. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 495 (2020), 48–54
  24. В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант”, Докл. РАН, 482:2 (2018), 137–141
  25. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613
  26. Г. В. Федоров, “Об $S$-единицах для нормирований второй степени в гиперэллиптических полях”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:2 (2020), 197–242
  27. Г. В. Федоров, “Периодические непрерывные дроби и $S$-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 282–297
  28. B. Mazur, “Rational points on modular curves”, Modular functions of one variable V (Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Math., 601, Springer, Berlin, 1977, 107–148
  29. Z. L. Scherr, Rational polynomial Pell equations, Ph.D. thesis, Univ. of Michigan, 2013, v+81 pp.

Copyright (c) 2021 Платонов В.P., Федоров Г.V.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies