Arithmetic of certain $\ell$-extensions ramified at three places. II
- Authors: Kuz'min L.V.1
-
Affiliations:
- National Research Centre "Kurchatov Institute"
- Issue: Vol 85, No 5 (2021)
- Pages: 132-151
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/142276
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9070
- ID: 142276
Cite item
Abstract
Let $\ell$ be a regular odd prime, $k$ the $\ell$ th cyclotomic field and $K=k(\sqrt[\ell]{a})$, where $a$ is a positive integer. Under the assumption that there are exactly three places not over $\ell$that ramify in $K_\infty/k_\infty$, we continue to study the structure of the Tate module (Iwasawa module) $T_\ell(K_\infty)$ as a Galois module. In the case $\ell=3$, we prove that for finite $T_\ell(K_\infty)$ we have $|T_\ell(K_\infty)| {=} \ell^r$ for some odd positive integer $r$. Under the same assumptions, if $\overline T_\ell(K_\infty)$ is the Galois group of the maximal unramified Abelian $\ell$-extension of $K_\infty$, then the kernel of the natural epimorphism $\overline T_\ell(K_\infty)\to T_\ell (K_\infty)$ is of order $9$. Some other results are obtained.
About the authors
Leonid Viktorovich Kuz'min
National Research Centre "Kurchatov Institute"
Email: helltiapa@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences
References
- Л. В. Кузьмин, “Арифметика некоторых $ell$-расширений с тремя точками ветвления”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 78–99
- Л. В. Кузьмин, “Аналог формулы Римана–Гурвица для одного типа $l$-расширений полей алгебраических чисел”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:2 (1990), 316–338
- Л. В. Кузьмин, “Модуль Тэйта полей алгебраических чисел”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:2 (1972), 267–327
- Л. В. Кузьмин, “Новые явные формулы для символа норменного вычета и их приложения”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:6 (1990), 1196–1228