On distributions of homogeneous and convex functions in Gaussian random variables

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We obtain broad conditions under which distributions of homogeneousfunctions in Gaussian and more general random variables have bounded densities or evendensities of bounded variation or densities with finite Fisher information.Analogous results are obtained for convex functions.Applications to maxima of quadratic forms are given.

About the authors

Vladimir Igorevich Bogachev

Lomonosov Moscow State University; HSE University

Email: vibogach@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Egor Dmitrievich Kosov

Lomonosov Moscow State University; HSE University

Email: ked_2006@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Svetlana Nikolaevna Popova

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); HSE University

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. R. J. Adler, “On excursion sets, tube formulas and maxima of random fields”, Ann. Appl. Probab., 10:1 (2000), 1–74
  2. Л. М. Арутюнян, И. С. Ярославцев, “Об измеримых многочленах на бесконечномерных пространствах”, Докл. РАН, 449:6 (2013), 627–631
  3. V. Bally, L. Caramellino, “Convergence and regularity of probability laws by using an interpolation method”, Ann. Probab., 45:2 (2017), 1110–1159
  4. V. Bentkus, F. Götze, “Optimal rates of convergence in the CLT for quadratic forms”, Ann. Probab., 24:1 (1996), 466–490
  5. В. И. Богачев, “Функционалы от случайных процессов и связанные с ними бесконечномерные осциллирующие интегралы”, Изв. РАН. Сер. матем., 56:2 (1992), 243–278
  6. В. И. Богачев, Гауссовские меры, Наука, М., 1997, 352 с.
  7. В. И. Богачев, Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2008, 544 с.
  8. V. I. Bogachev, “Gaussian measures on infinite-dimensional spaces”, Real and stochastic analysis. Current trends, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, 1–83
  9. В. И. Богачев, “Распределения многочленов на многомерных и бесконечномерных пространствах с мерами”, УМН, 71:4(430) (2016), 107–154
  10. V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
  11. V. I. Bogachev, E. D. Kosov, G. I. Zelenov, “Fractional smoothness of distributions of polynomials and a fractional analog of the Hardy–Landau–Littlewood inequality”, Trans. Amer. Math. Soc., 370:6 (2018), 4401–4432
  12. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, “Аналитические свойства бесконечномерных вероятностных распределений”, УМН, 45:3(273) (1990), 3–83
  13. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, Топологические векторные пространства и их приложения, РХД, М.–Ижевск, 2012, 584 с.
  14. V. Chernozhukov, D. Chetverikov, K. Kato, “Gaussian approximations and multiplier bootstrap for maxima of sums of high-dimensional random vectors”, Ann. Statist., 41:6 (2013), 2786–2819
  15. V. Chernozhukov, D. Chetverikov, K. Kato, “Comparison and anti-concentration bounds for maxima of Gaussian random vectors”, Probab. Theory Related Fields, 162:1-2 (2015), 47–70
  16. Ю. А. Давыдов, М. А. Лифшиц, Н. В. Смородина, Локальные свойства распределений стохастических функционалов, Наука, М., 1995, 256 с.
  17. W. F. Donoghue, Jr., Distributions and Fourier transforms, Pure Appl. Math., 32, Academic Press, New York, 1969, viii+315 pp.
  18. F. Götze, A. N. Tikhomirov, “Asymptotic distribution of quadratic forms”, Ann. Probab., 27:2 (1999), 1072–1098
  19. F. Götze, A. Tikhomirov, “Asymptotic distribution of quadratic forms and applications”, J. Theoret. Probab., 15:2 (2002), 423–475
  20. F. Götze, A. N. Tikhomirov, “Asymptotic expansions in non-central limit theorems for quadratic forms”, J. Theoret. Probab., 18:4 (2005), 757–811
  21. F. Götze, A. Yu. Zaitsev, “Explicit rates of approximation in the CLT for quadratic forms”, Ann. Probab., 42:1 (2014), 354–397
  22. Y. Koike, “Gaussian approximation of maxima of Wiener functionals and its application to high-frequency data”, Ann. Statist., 47:3 (2019), 1663–1687
  23. S. Kuriki, A. Takemura, “Tail probabilities of the maxima of multilinear forms and their applications”, Ann. Statist., 29:2 (2001), 328–371
  24. М. А. Лифшиц, Гауссовские случайные функции, ТВиМС, Киев, 1995, 246 с.
  25. I. Nourdin, G. Peccati, Normal approximations with Malliavin calculus. From Stein's method to universality, Cambridge Tracts in Math., 192, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xiv+239 pp.
  26. D. Nualart, The Malliavin calculus and related topics, Probab. Appl. (N. Y.), Springer-Verlag, New York, 1995, xii+266 pp.
  27. F. G. Tricomi, “Asymptotische Eigenschaften der unvollständigen Gammafunktion”, Math. Z., 53 (1950), 136–148
  28. F. G. Viens, A. B. Vizcarra, “Supremum concentration inequality and modulus of continuity for sub-$n$th chaos processes”, J. Funct. Anal., 248:1 (2007), 1–26
  29. WanSoo T. Rhee, “On the distribution of the norm for a Gaussian measure”, Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 20:3 (1984), 277–286
  30. WanSoo Rhee, M. Talagrand, “Bad rates of convergence for the central limit theorem in Hilbert space”, Ann. Probab., 12:3 (1984), 843–850
  31. WanSoo Rhee, M. Talagrand, “Uniform convexity and the distribution of the norm for a Gaussian measure”, Probab. Theory Relat. Fields, 71:1 (1986), 59–67
  32. A. W. Roberts, D. E. Varberg, Convex functions, Pure Appl. Math., 57, Academic Press, New York–London, 1973, xx+300 pp.
  33. Н. В. Смородина, “Асимпотическое разложение распределения однородного фунцкионала от строго устойчивого вектора”, Теория вероятн. и ее примен., 41:1 (1996), 133–163

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Богачев В.I., Косов Е.D., Попова С.N.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).