Том 89, № 5 (2025)

We prove existence and uniqueness of a solution of the Dirichlet problem for separately $(\alpha, \beta)$-harmonic functions on $\mathbb D^n$ with boundary data in $C(\mathbb T^n)$ using $(\alpha, \beta)$-Poisson kernel $P_{\alpha, \beta} (z, \zeta)$. A characterization by hypergeometric functions of separately $(\alpha, \beta)$-harmonic functions which are also $m$-homogeneous is given, it is used to obtain series expansion of separately $(\alpha, \beta)$-harmonic functions. Basic $H^p$ theory of such functions is developed: integral representations by measures and $L^p$ functions on $\mathbb T^n$, norm and weak$^\ast$ convergence at the distinguished boundary $\mathbb T^n$. Weak $(1,1)$-type estimate for a restricted non-tangential maximal function $M_{A, B}^{\mathrm{NT}}$ is derived. We show that slice functions $u(z_1, …, z_k, \zeta_{k+1}, …, \zeta_n)$, where some of the variables are fixed, belong in the appropriate space of separately $(\alpha', \beta')$-harmonic functions of $k$ variables. We prove a Fatou type theorem on a.e. existence of restricted non-tangential limits for these functions and a corresponding result for unrestricted limit at a point in $\mathbb T^n$. Our results extend earlier results for $(\alpha, \beta)$-harmonic functions in the disc and for $n$-harmonic functions in $\mathbb D^n$.

This paper gives some characterizations of the boundedness of the maximal or non-linear commutator of the $p$-adic fractional maximal operator $ \mathcal{M}_{\alpha}^p$ with the symbols belong to the $p$-adic BMO spaces on (variable) Lebesgue spaces and Morrey spaces over $p$-adic field, by which some new characterizations of BMO functions are obtained in the $p$-adic field context. Meanwhile, some equivalent relations between the $p$-adic BMO norm and the $p$-adic (variable) Lebesgue or Morrey norm are given.

Производится осреднение тонкой сетки квантовых волноводов с мелкими узелками-утолщениями (задача Дирихле для оператора Лапласа). В отличие от задачи с краевыми условиями Неймана нижний, но удаленный от начала координат диапазон спектра задачи Дирихле характеризуется локализацией соответствующих собственных функций около зон угловых соединений перемычек или на самих перемычках в зависимости от расположения собственных чисел в (обязательно непустых) дискретных спектрах модельных задач о сочленении полубесконечных цилиндрических квантовых волноводов разных форм. Поведение собственных чисел и функций в среднечастотном диапазоне спектра сетки существенно зависит от явления порогового резонанса в упомянутых сочленениях, а также от отношения между малыми параметрами – периода расположения узелков и их диаметра, сравнимого по порядку, но превосходящего диаметр перемычек. Разобраны конкретные ситуации (прямоугольные и круговые сечения) и сформулированы открытые вопросы.
Библиография: 56 наименований.

Рассматривается связанная система, состоящая из процесса выметания и эволюционного максимально монотонного включения. Значениями движущегося множества в процессе выметания являются prox-регулярные множества, зависящие от времени и состояния системы. Правая часть процесса выметания содержит сумму двух многозначных возмущений, зависящих от времени и состояния системы с различными свойствами полунепрерывности. Возмущение в правой части максимально монотонного включения является однозначной функцией. Решением процесса выметания является непрерывная справа функция ограниченной вариации ($\mathrm{BV}$-решение). Решением максимально монотонного включения является абсолютно непрерывная функция. Доказана теорема существования решения системы, а при выпуклозначности возмущений – теорема о компактности множества решений.
Библиография: 53 наименования.