Асимптотика собственных чисел и функций задачи Дирихле на тонкой пространственной сетке с узелками

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Производится осреднение тонкой сетки квантовых волноводов с мелкими узелками-утолщениями (задача Дирихле для оператора Лапласа). В отличие от задачи с краевыми условиями Неймана нижний, но удаленный от начала координат диапазон спектра задачи Дирихле характеризуется локализацией соответствующих собственных функций около зон угловых соединений перемычек или на самих перемычках в зависимости от расположения собственных чисел в (обязательно непустых) дискретных спектрах модельных задач о сочленении полубесконечных цилиндрических квантовых волноводов разных форм. Поведение собственных чисел и функций в среднечастотном диапазоне спектра сетки существенно зависит от явления порогового резонанса в упомянутых сочленениях, а также от отношения между малыми параметрами – периода расположения узелков и их диаметра, сравнимого по порядку, но превосходящего диаметр перемычек. Разобраны конкретные ситуации (прямоугольные и круговые сечения) и сформулированы открытые вопросы.
Библиография: 56 наименований.

Об авторах

Сергей Александрович Назаров

Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk; srgnazarov108@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8552-1264
Scopus Author ID: 35616414800
ResearcherId: N-3503-2015
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
  2. P. G. Ciarlet, Plates and junctions in elastic multi-structures. An asymptotic analysis, Rech. Math. Appl., 14, Masson, Paris; Springer-Verlag, Berlin, 1990, viii+215 pp.
  3. D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin, Homogenization of reticulated structures, Appl. Math. Sci., 136, Springer-Verlag, New York, 1999, xx+346 pp.
  4. W. G. Mazja, S. A. Nasarow, B. A. Plamenewski, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten, v. 1, Math. Lehrbucher und Monogr., 82, Akademie-Verlag, Berlin, 1991, 432 pp.
  5. G. Panasenko, Multi-scale modelling for structures and composites, Springer, Dordrecht, 2005, xiv+398 pp.
  6. O. Post, Spectral analysis on graph-like spaces, Lecture Notes in Math., 2039, Springer, Heidelberg, 2012, xvi+431 pp.
  7. G. P. Panasenko, “Asymptotic analysis of bar systems. I”, Russian J. Math. Phys., 2:3 (1994), 325–352
  8. P. Exner, O. Post, “Convergence of spectra of graph-like thin manifolds”, J. Geom. Phys., 54:1 (2005), 77–115
  9. D. Grieser, “Spectra of graph neighborhoods and scattering”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 97:3 (2008), 718–752
  10. G. Leugering, S. A. Nazarov, A. S. Slutskij, J. Taskinen, “Asymptotic analysis of a bit brace shaped junction of thin rods”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 100:1 (2020), e201900227, 11 pp.
  11. S. A. Nazarov, “The Navier–Stokes problem in thin or long tubes with periodically varying cross-section”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 80:9 (2000), 591–612
  12. S. Čanic, A. Mikelic, “Effective equations modeling the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube arising in the study of blood flow through small arteries”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2:3 (2003), 431–463
  13. G. Panasenko, K. Pileckas, “Asymptotic analysis of the nonsteady viscous flow with a given flow rate in a thin pipe”, Appl. Anal., 91:3 (2012), 559–574
  14. D. S. Jones, “The eigenvalues of $nabla^2u+lambda u=0$ when the boundary conditions are given on semi-infinite domains”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 49:4 (1953), 668–684
  15. S. Molchanov, B. Vainberg, “Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics”, Comm. Math. Phys., 273:2 (2007), 533–559
  16. K. Pankrashkin, “Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions”, J. Math. Anal. Appl., 449:1 (2017), 907–925
  17. D. V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev, “Existence theorems for trapped modes”, J. Fluid Mech., 261 (1994), 21–31
  18. F. Rellich, “Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von $Delta u+lambda u=0$ in unendlichen Gebieten”, Jahresber. Dtsch. Math.–Ver., 53:1 (1943), 57–65
  19. P. Exner, P. Šeba, P. Štoviček, “On existence of a bound state in an $L$-shaped waveguide”, Czech J. Phys., 39:11 (1989), 1181–1191
  20. S. A. Nazarov, A. V. Shanin, “Trapped modes in angular joints of 2D waveguides”, Appl. Anal., 93:3 (2014), 572–582
  21. M. Dauge, Y. Lafranche, T. Ourmières-Bonafos, “Dirichlet spectrum of the Fichera layer”, Integral Equations Operator Theory, 90:5 (2018), 60, 41 pp.
  22. M. Vanninathan, “Homogenization of eigenvalue problems in perforated domains”, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 90:3 (1981), 239–271
  23. T. A. Mel'nyk, “Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses”, Math. Models Methods Appl. Sci., 11:6 (2001), 1001–1027
  24. S. A. Nazarov, M. E. Perez, “On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary”, Rev. Mat. Complut., 31:1 (2018), 1–62
  25. W. Kirsch, B. Simon, “Comparison theorems for the gap of Schrödinger operators”, J. Funct. Anal., 75:2 (1987), 396–410
  26. E. B. Daners, B. Simon, “Ultracontractivity and the heat kernel for Schrödinger operators and Dirichlet Laplacians”, J. Funct. Anal., 59:2 (1984), 335–395
  27. M. Sh. Birman, T. A. Suslina, “Two-dimensional periodic Pauli operator. The effective masses at the lower edge of the spectrum”, Mathematical results in quantum mechanics (Prague, 1998), Oper. Theory Adv. Appl., 108, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999, 13–31

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Назаров С.А., 2025

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).