№ 1 (2023)

В работе рассматривается проблема регуляризации особенностей классических уравнений небесной механики и механики космического полета (астродинамики), в которых используются переменные, характеризующие форму и размеры мгновенной орбиты (траектории) изучаемого движущегося тела, и углы Эйлера, описывающие ориентацию используемой вращающейся (промежуточной (intermediate)) системы координат или ориентацию мгновенной орбиты, или плоскости орбиты движущегося тела в инерциальной системе координат. Особенности типа сингулярности (деления на ноль) этих классических уравнений порождаются углами Эйлера и затрудняют аналитическое и численное исследование задач орбитального движения. Эти особенности эффективно устраняются с помощью использования четырехмерных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона) и кватернионов поворотов (вращения) Гамильтона. В настоящей (второй) части работы получены новые регулярные кватернионные модели небесной механики и астродинамики, не имеющие выше указанных особенностей и построенные в рамках возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел (например, Земля, Луна (или Солнце) и космический аппарат (или астероид)): уравнения траекторного движения, записанные в неголономной или в орбитальной, или в идеальной системах координат, для описания вращательного движения которых использованы параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона) и кватернионы поворотов Гамильтона. Получены также новые регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел, построенные с использованием двухмерных идеальных прямоугольных координат Ганзена, параметров Эйлера и кватернионных переменных, а также с использованием комплексных композиций координат Ганзена и параметров Эйлера (параметров Кейли–Клейна). Преимущество предлагаемых уравнений орбитального движения, построенных с использованием параметров Эйлера, перед уравнениями, построенными с использованием углов Эйлера, обусловливается хорошо известными преимуществами кватернионных кинематических уравнений в параметрах Эйлера, входящих в состав предлагаемых уравнений, перед кинематическими уравнениями в углах Эйлера, входящих в состав классических уравнений.

В работе рассматривается потенциальная задача заглубленного импульсного воздействия в начальный момент времени на гидрогеофизический массив, что может иметь место при подземных (подводных) взрывах, извержениях вулканов, сейсмах и т.д. Воздействие очага импульса моделировалось источником округленной формы с единичным напором, а область стока – линией нулевого потенциала. Получено строгое гидромеханическое решение задачи с установлением аналитической взаимосвязи между физической областью течения и комплексным потенциалом на основе теории функции комплексного переменного – использования метода последовательных конформных отображений с определением всех необходимых характеристик потока. Приведены примеры расчета для частных случаев с построением криволинейных ортогональных гидродинамических сеток, очертаний семейств линий равных напоров и линий токов, профилей источников импульса, а также эпюр скоростей, напоров и расходов потенциального потока.

В статье излагается проблема определения углового положения при спуске на аппарате с малым аэродинамическим качеством. Представлено решение с помощью метода наименьших квадратов, который сводится к определению кватерниона ориентации с помощью системы линейных алгебраических уравнений. Предлагаемый метод основан на алгебраических свойствах кватернионов. Для получения измерений ускорения и угловой скорости используются вибрационно-струнный акселерометр и волоконно-оптический гироскоп. Данные о скорости и координатах аппарата доступны по показаниям аппаратуры спутниковой навигации.

На основе предположения о начальной деформированной форме поперечного сечения трубопровода, цилиндрической оболочки, углеродной нанотрубки (УНТ) без начальных напряжений определяются критические давления внутри и вне этих элементов конструкций. Изучено статическое взаимодействие неустойчивостей под действием вышеуказанных факторов.

С помощью быстрой тригонометрической интерполяции решена задача о напряжениях в брусе прямоугольного сечения. Проведено сравнение полученного приближенного аналитического решения с точным, в ходе которого исследована относительная погрешность компонент перемещений, компонент тензора напряжений, невязка уравнений равновесия Ламе и невязка граничных условий. Установлено, что при использовании в быстрых разложениях граничной функции второго порядка и небольшом количестве членов в рядах Фурье (от двух до шести) максимальная относительная погрешность δ_max компонент перемещений и компонент тензора напряжений составляет менее одного процента. С увеличением порядка граничной функции и/или количества членов N в рядах Фурье δ_max быстро уменьшается. Увеличение порядка граничной функции является более эффективным способом уменьшения погрешности вычислений δ_max, чем увеличение количества членов в рядах Фурье. При исследовании интенсивности напряжений \(\tilde {\sigma }\) в брусе с различными габаритными размерами прямоугольного сечения, но одинаковой площадью всех сечений выяснилось, что наименьшее значение \({{\tilde {\sigma }}_{{\max }}}\) среди всех сечений наблюдается в брусе с квадратным сечением.

В электропроводящих композитах, помещенных в электрическое поле, происходит выделение тепла и формируются неоднородные температурные поля. Это, в свою очередь, индуцирует деформации и напряжении в таких композитах. В работе решается последовательность несвязанных краевых задач: электропроводности в поле постоянного электрического тока, теплопроводности, термоупругости. Показано, что при протекании электрического тока в медно-графитовом и наполненном порошком меди полимерном композите возникают перемещения, деформации и напряжения даже в том случае, когда компоненты композита не обладают пьезоэффектом.

Представлены результаты расчетов эффективного модуля Юнга продольно растягиваемых двухслойных пластин из одинаково ориентированных кубических кристаллов на основе аналитического анализа и численного метода конечных элементов. Приведены аналитические зависимости эффективного модуля Юнга от модулей Юнга и коэффициентов Пуассона кристаллов в слоях. Определены комбинации пар кристаллов со значительным отклонением эффективных характеристик, найденных по правилу смесей. Установлены зависимости эффективных модулей Юнга от экстремальных значений модулей Юнга и коэффициентов Пуассона кристаллов в слоях, которые представлены графически, и в ряде случаев отражены в виде таблицы.