Том 61, № 12 (2025)

Для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом и с производной Джрбашина–Нересесяна произвольного порядка изучена краевая задача с обобщёнными краевыми условиями типа Штурма. Решение задачи выписано в терминах функции Грина. Доказана теорема существования и единственности решения задачи.

Рассматривается краевая задача для стационарных дифференциальных уравнений, образующих двухдиффузионную модель тепломассопереноса с переменными коэффициентами, ведущие коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии в которых, как и силы плавучести, зависят от температуры и концентрации растворённого в основной среде вещества. На основе вариационного подхода разрабатывается математический аппарат для исследования этой задачи, с его помощью доказывается глобальное существование слабого решения задачи и устанавливаются достаточные условия на данные задачи, обеспечивающие локальную единственность слабого решения, обладающего дополнительным свойством гладкости температуры и концентрации.

Рассмотрен B-гиперболический оператор □_γ = ∂²/∂t² − a²Δ_Bγ с оператором Δ_Bγ = ∑_i=1 ⁿ B_γi , где B_γi — дифференциальные операторы Бесселя с параметрами γ_i > −1. Введено определение δ_−γ-распределения Дирака и получена формула преобразования Бесселя δ_−γ-распределения Дирака. Приведены три типа фундаментальных решений B-гиперболического оператора для различных значений индекса. Решено неоднородное B-гиперболическое уравнение.

Исследованы условия, связывающие свойство строгого отбора в непрерывных и дискретных динамических системах на стандартном симплексе и позволяющие обеспечить корректный подбор шага интегрирования без потери свойства строгого отбора в системе. Сделана попытка связать понятия отбора для систем в разностном случае с соответствующим дифференциальным аналогом. Показано, что при равномерной сходимости решения разностной системы к вершине симплекса исходные дифференциальные системы также обладают свойством отбора и находят широкое применение при построении математических моделей различных процессов реального мира.

Решена задача стабилизации нулевого значения вектора состояния динамических систем вида, допускающего линеаризацию обратной связью по состоянию, с учётом ограничений на абсолютные величины переменных состояния. На основе известных результатов о возможности получения одинаковых законов управления при применении метода бэкстеппинга и метода линеаризации обратной связью по состоянию для синтеза стабилизирующих обратных связей предложены достаточные условия на коэффициенты усиления и корни характеристического уравнения замкнутой системы, обеспечивающие выполнение заданных ограничений на переменные состояния. Найденные достаточные условия выполнения ограничений базируются на результатах, полученных при помощи метода бэкстеппинга с использованием логарифмических барьерных функций Ляпунова. В качестве примера рассмотрено решение задачи регулирования одной из обобщённых координат механической системы, динамика которой по выбранной обобщённой переменной может быть представлена как цепочка интеграторов четвёртого порядка с учётом ограничений на значения обобщённой координаты, скорости, ускорения и рывка.