Том 212, № 3 (2021)

Изучаются особенности торических расслоений. Рассматривается гипотеза Шокурова (частный случай которой был предложен МакКернаном), состоящая в том, что для $\varepsilon$-логканонического расслоения лог-Калаби–Яу $(X,B)\to Z$ особенности базы $(Z,B_Z+M_Z)$, рассмотренной как логпара, ограничены в терминах $\varepsilon$ и $\dim X$, где $B_Z$, $M_Z$ – дискриминантный и модульный дивизоры, определенные по формуле для канонического расслоения. Следствие из основного результата статьи гласит, что для торического расслоения Фано $X\to Z$, где $X$ является $\varepsilon$-логканоническим, кратности слоев над точками коразмерности $1$ ограничены в зависимости от $\varepsilon$ и $\dim X$.Библиография: 20 названий.

Строится вариант группы бирациональных символов Концевича, Пестуна и второго автора. Он применяется к определению бирациональных инвариантов алгебраических орбифолдов.Библиография: 20 названий.

Пусть $(X, C)$ – росток трехмерного многообразия $X$ с терминальными особенностями вдоль связной приведенной полной кривой $C$, допускающего стягивание $f\colon (X, C) \to (Z, o)$ такое, что $C = f^{-1} (o)_{\mathrm{red}}$ и $-K_X$ является $f$-обильным. Предположим, что каждая неприводимая компонента $C$ содержит не более одной точки индекса $>2$. Мы докажем, что общий элемент $D\in |{-}K_X|$ является нормальной поверхностью с дювалевскими особенностями. Библиография: 16 названий.

Обобщается конструкция А. Е. Миронова, представившего в свое время новые примеры минимальных и гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий в $\mathbb{C}^n$ и $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. В основе его конструкции лежало рассмотрение неполного торического действия $T^k$, где $k < n$, на подпространства, инвариантные относительно естественных антиголоморфных инволюций. Такая ситуация имеет место для достаточно широкого класса алгебраических многообразий: комплексных квадрик, грассманианов, многообразий флагов и т.п., что позволяет построить большое количество новых примеров лагранжевых подмногообразий в этих алгебраических многообразиях.Библиография: 4 названия.

Формулируется гипотеза о конечной порожденности присоединенного градуированного кольца для нормирования, вычисляющего дельта-инвариант пары лог-Фано. Также развивается подход к доказательству этой гипотезы, основанный на технике вырождений.Библиография: 17 названий.