Том 217, № 1 (2026)

Пусть задана последовательность критических ветвящихся процессов в случайной среде $Z^{(k)}=Ż_{i}^{(k)}, i=0,1,…\}$, $k=1,2,…$, отличающихся друг от друга только численностью $k$ начального поколения. Предположим, что шаг сопровождающего случайного блуждания принадлежит области притяжения устойчивого закона. Для случая, когда $k=k(n)$, где $n$ – некоторый натуральный параметр, причем $k(n)$ растет по $n$ специальным образом, доказаны предельные теоремы при $n\to \infty $ для процесса с непрерывным временем, построенного по $Z^{(k(n))}$, и для логарифма этого процесса. Кроме того, доказаны предельные теоремы для момента вырождения процесса $Z^{(k(n))}$, для максимума этого процесса и его полного числа частиц.
Библиография: 10 названий.

Настоящая статья посвящается профессору Н. М. Коробову.
Рассмотрим множество всех конечных слов в конечном алфавите $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$. К каждому из этих слов добавим префикс $V$ и окончание $W$ – некоторые фиксированные конечные слова в алфавите $\mathbb{N}$. Полученные слова будем понимать как разложения в конечные цепные дроби для некоторых рациональных чисел из интервала $(0,1)$. Далее рассмотрим несократимые знаменатели этих рациональных чисел; множество тех из этих знаменателей, которые не превосходят некоторой величины $N\in \mathbb{N}$ (представляющей собой растущий параметр), обозначим через $\mathfrak{D}^{N}_{\mathbf{A},V,W}$. В работе доказывается, что при определенных условиях на $\mathbf{A}$, $V$ и $W$ для любого простого $Q$, пропорционального некоторой фиксированной дробной степени числа $N$, множество $\mathfrak{D}^{N}_{\mathbf{A},V,W}$ содержит почти все возможные вычеты по модулю $Q$ и в остаточном слагаемом этой асимптотической формулы имеется степенное понижение по $Q$.
Библиография: 35 названий.

Для всякого натурального $n>1$ найден унитарный оператор динамического происхождения такой, что его тензорная степень порядка $n$ имеет сингулярный спектр, а спектр степени порядка $n+1$ абсолютно непрерывен. Для любых последовательностей $p(n)$, $q(n)$ при выполнении условий $ p(n+1)- p(n) \to+\infty$ и $ q(n+1)- q(n)\to +\infty$ найдутся множество $C$ и автоморфизмы $S$, $T$ с простым сингулярным спектром, для которых последовательность $ \sum_{n=1}^{N} \mu(S^{ p(n)}C\cap T^{ q(n)}C)/N$ расходится. В классе пуассоновских надстроек с нулевой энтропией найдутся перемешивающие автоморфизмы $S$, $T$ такие, что для некоторого множества $D$ положительной меры для всех $n>0$ выполняется $S^nD\cap T^nD=\varnothing$.
Библиография: 23 названия.