Vol 63, No 6 (2023)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Исследование устойчивости неклассических разностных схем для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода
Abstract
В работе для решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода сконструировано семейство безытерационных численных методов первого и второго порядка точности. Проведен анализ этих методов на \(A\)-, \(L\)-, \(P\)-устойчивость. Для иллюстрации полученных выводов представлены результаты численных расчетов модельных уравнений, содержащих жесткие и осциллирующие компоненты. Библ. 10. Фиг. 4. Табл. 4.
О новом типе юнитоидных матриц
Abstract
Коквадрат невырожденной комплексной матрицы \(A\) определяется как \({{A}^{{ - \top }}}A\) в теории \(T\)-конгруэнций и как \({{A}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} A\) в теории эрмитовых конгруэнций. Существует еще одно произведение подобного рода, а именно, \({{\bar {A}}^{{ - 1}}}A\). В статье обсуждается следующий вопрос: можно ли и это произведение интерпретировать как коквадрат в рамках какой-то теории конгруэнций? Какова эта теория, и как в ней выглядит каноническая форма? Библ. 5.
Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач
Abstract
Получены функциональные тождества, которые выполняются для отклонений от точных решений краевых и начально-краевых задач с монотонными операторами. Тождества выполняются для любых функций из соответствующего функционального класса, который содержит точное решение задачи. Левая часть тождества представляет собой сумму мер отклонений приближенного решения от точного. Показано, что именно такие меры являются естественными характеристиками точности приближенных решений. В некоторых случаях правая часть тождества содержит только известные данные задачи и функции, характеризующие приближенное решение. Такое тождество можно прямо использовать для контроля точности. В других случаях правая часть включает неизвестные функции. Однако их можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки. При этом необходимо использовать специальные функциональные неравенства, связывающие меры отклонения со свойствами рассматриваемого монотонного оператора. В качестве примера такие оценки и точные значения соответствующих констант получены для класса задач с оператором \(\alpha \)‑Лапласиана. Показано, что тождества и вытекающие из них оценки позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что дает возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения. В первой части статьи теория и приложения касаются стационарных моделей, а затем основные результаты переносятся на эволюционные модели с монотонными пространственными операторами. Библ. 30. Фиг. 2.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Теория p-регулярности и существование непрерывно зависящего от граничных условий решения краевой задачи
Abstract
В статье рассматривается проблема существования решения краевой задачи, непрерывно зависящего от граничных условий. Ранее такой факт был известен только для задачи Коши и является классическим в теории дифференциальных уравнений. В работе удалось обосновать аналогичную ситуацию и для краевых задач при наличии свойства \(p\)-регулярности задачи. В общем случае этот факт, вообще говоря, неверен. В данной работе доказывается несколько теорем о неявной функции в случае вырождения, что является развитием теории \(p\)-регулярности в направлении решения проблем существования решения нелинейных дифференциальных уравнений. Как иллюстрация полученных результатов, приводится пример классической краевой задачи – вырожденного уравнения Ван дер Поля и доказывается существование решения, непрерывно зависящего от граничных условий возмущенной задачи. Библ. 9.
On Normality in Optimal Control Problems with State Constraints
Abstract
Нормальность в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями.
Рассмотрена общая задача оптимального управления с концевыми, смешанными и фазовыми ограничениями. Исследуется вопрос о нормальности известных необходимых условий оптимальности. Нормальность означает положительность множителя Лагранжа при минимизируемом функционале. Для доказательства условия нормальности конструируется оператор производной для отображения, задающего фазовые ограничения, который действует в определенном гильбертовом пространстве и обладает нужными свойствами сюръекции и непрерывности.
О реконструкции входного воздействия системы реакции–диффузии
Abstract
Рассматривается задача динамической реконструкции граничного неизвестного входного воздействия для нелинейной системы дифференциальных уравнений с распределенными параметрами типа реакции–диффузии. Представлен алгоритм ее решения, который основан на конструкциях теории управления с обратной связью. Библ. 19.
Mixed Virtual Element Approximation of a Fourth Order Optimal Control Problem
Abstract
Аппроксимация смешанными виртуальными элементами задачи оптимального управления четвертого порядка
. Изучается метод смешанных виртуальных элементов для задачи распределенного оптимального управления дифференциальным уравнением в частных производных четвертого порядка. Путем введения вспомогательной переменной уравнение преобразуется к системе уравнений второго порядка. Предложена дискретная схема смешанного виртуального элемента для возникающей задачи. Получены априорные оценки погрешности для вспомогательного состояния, сопряженного состояния и управляющей переменной в нормах H^1 и L_2. Приведенные численные эксперименты иллюстрируют полученные теоретические оценки.
Оптимизация управления и параметров в системах с фазовыми ограничениями
Abstract
Для задачи оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты рассматривается итерационный метод поиска численного решения, основанный на редукции к конечномерной задаче и применении к последней алгоритма последовательной линеаризации с использованием модифицированной функции Лагранжа. Для решения линейных вспомогательных задач на итерациях метода используется метод приведенного градиента. Эффективность учета фазовых ограничений при расчете оптимального управления иллюстрируется численным решением задач из области аэродинамики и робототехники. Библ. 12. Фиг. 2.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Об особых точках линейных дифференциально-алгебраических уравнений с возмущениями в виде интегральных операторов
Abstract
Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с тождественно вырожденной в области определения матрицей при старшей производной искомой вектор-функции и с нагружениями в виде интегральных операторов Вольтерра и Фредгольма. При постановке начальных задач задаются проекторы на допустимые множества начальных векторов. Особое внимание уделено системам при наличии на отрезке интегрирования особых точек. В статье формализовано понятие особой точки. В случае дифференциальных уравнений дана их классификация. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих теоретические результаты. Библ. 30.
О локальных параболических интерполяционных сплайнах Фавара с дополнительными узлами
Abstract
Приведены явные формулы для интерполяционных параболических сплайнов на отрезке числовой оси, построенных Ж. Фаваром в 1940 г. Установлены оценки для нормы второй производной и погрешности аппроксимации в равномерной метрике построенными сплайнами на соболевском классе \(W_{\infty }^{2}\) дважды дифференцируемых функций. Библ. 18.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Об отсутствии слабых решений нелинейных неотрицательных параболических неравенств высокого порядка с нелокальным источником
Abstract
Доказывается отсутствие решений полулинейных параболических неравенств и систем высокого порядка с сингулярным потенциалом и нелокальными источниками. Доказательства основаны на методе пробных функций, разработанном Э. Митидиери и С.И. Похожаевым. Библ. 13.
Об одном классе точных решений системы Навье–Стокса для несжимаемой жидкости в шаре и сферическом слое
Abstract
В работе получен класс точных решений уравнений Навье–Стокса для вихревого течения несжимаемой жидкости. Построено трехпараметрическое семейство решений в шаре, сферических слоях и во всем пространстве \({{\mathbb{R}}_{3}}\).
О критических показателях для слабых решений задачи Коши для одного 2 + 1-мерного нелинейного уравнения составного типа с градиентной нелинейностью
Abstract
Рассматривается задача Коши для одного модельного нелинейного уравнения с градиентной нелинейностью. Для этой задачи Коши в работе доказано существование двух критических показателей \({{q}_{1}} = 2\) и \({{q}_{2}} = 3\) таких, что при \(1 < q\;\leqslant \;{{q}_{1}}\) отсутствует локальное во времени в некотором смысле слабое решение, при \(q > {{q}_{1}}\) локальное во времени слабое решение появляется, однако при \({{q}_{1}} < q\;\leqslant \;{{q}_{2}}\) отсутствует глобальное во времени слабое решение. Библ. 17.
Optical Solitary Waves and Soliton Solutions of the (3 + 1)-Dimensional Generalized Kadomtsev–Petviashvili–Benjamin–Bona–Mahony Equation
Abstract
Оптические уединенные волны и солитонные решения (3 + 1)-мерного обобщенного уравнения Кадомцева-Петвиашвили-Бенджамина-Бона-Махони
. Анализ нелинейного (3 + 1)-мерного обобщенного уравнения четвертого порядка Кадомцева–Петвиашвили–Бенджамина–Бона–Махони был проведен с использованием преобразования бегущей волны. Рассматриваемая модель является интегрируемой, имеет постоянные коэффициенты и описывает поток морской жидкости. Исследуемая система преобразуется с помощью метода функций выравнивания Бернулли, а затем с помощью модифицированного расширенного метода с использованием гиперболических функций tanh(x), что позволяет явно получать бегущие волны, периодические волны и солитонные решения. Приведены множественные численные расчеты, иллюстрирующие полученные результаты.
Well-Posedness and Asymptotic Behavior for the Dissipative p-Biharmonic Wave Equation with Logarithmic Nonlinearity and Damping Terms
Abstract
Корректность и асимптотическое поведение диссипативного p-бигармонического волнового уравнения с логарифмической нелинейностью и затухающими членами
. Исследуется начально-краевая задача для p-бигармонического волнового уравнения с логарифмической нелинейностью и демпфирующими членами. Комбинируя приближение Фаэдо-Галеркина, метод потенциальной ямы и вводя соответствующий функционал Ляпунова, получено как полиномиальное, так и экспоненциальное затухание полной энергии. Используя затем метод дифференциальных неравенств, получено условие существования решения в течение определенного конечного времени.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Сравнение противопоточных и симметричных WENO-схем при моделировании базовых турбулентных течений методом крупных вихрей
Abstract
Работа посвящена изучению свойств современных схем семейства WENO с целью их дальнейшего применения в вихреразрешающих расчетах методом крупных вихрей (LES). Выбрана схема WENO-ZM5, которая относится к классу WENO-схем с модификацией индикаторов гладкости (“противопоточных”), и схема WENO-SYMBOO6, использующая симметричный шаблон (“симметричная WENO-схема”). Проведено сравнение схем на модельных одномерных задачах (уравнение переноса, Хопфа, Бюргерса) как с гладкими, так и с разрывными решениями. Представлены результаты LES-моделирования распада изотропной турбулентности. Решения, полученные по новым схемам, сопоставлены с решениями по центрально-разностной схеме, классической схеме WENO5 и гибридной схеме. На основе анализа энергетического спектра проведено сравнение уровня диссипативности схем. Аналогичное сравнение проведено в LES-расчете задачи о временно́м слое смешения, где в дополнение к энергетическому спектру рассмотрены профили средней скорости и напряжений Рейнольдса. Библ. 29. Фиг. 13. Табл. 2.
Метод оптических путей для численного моделирования задач интегральной фотоники
Abstract
Ряд актуальных задач интегральной фотоники сводится к наклонному падению излучения на плоско-параллельный рассеиватель. Для таких задач предложен метод интегрирования уравнений Максвелла вдоль направления распространения луча. В результате исходная двумерная задача сводится к одномерной, и для ее решения применяются недавно предложенные одномерные бикомпактные схемы. Это позволяет существенно снизить вычислительные затраты по сравнению с традиционными двумерными методами типа конечных разностей и конечных элементов. Для верификации предложенного метода проведены расчеты тестовых задач с известными точными решениями. Библ. 33. Фиг. 12.