Том 63, № 6 (2023)

В работе для решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода сконструировано семейство безытерационных численных методов первого и второго порядка точности. Проведен анализ этих методов на \(A\)-, \(L\)-, \(P\)-устойчивость. Для иллюстрации полученных выводов представлены результаты численных расчетов модельных уравнений, содержащих жесткие и осциллирующие компоненты. Библ. 10. Фиг. 4. Табл. 4.

Получены функциональные тождества, которые выполняются для отклонений от точных решений краевых и начально-краевых задач с монотонными операторами. Тождества выполняются для любых функций из соответствующего функционального класса, который содержит точное решение задачи. Левая часть тождества представляет собой сумму мер отклонений приближенного решения от точного. Показано, что именно такие меры являются естественными характеристиками точности приближенных решений. В некоторых случаях правая часть тождества содержит только известные данные задачи и функции, характеризующие приближенное решение. Такое тождество можно прямо использовать для контроля точности. В других случаях правая часть включает неизвестные функции. Однако их можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки. При этом необходимо использовать специальные функциональные неравенства, связывающие меры отклонения со свойствами рассматриваемого монотонного оператора. В качестве примера такие оценки и точные значения соответствующих констант получены для класса задач с оператором \(\alpha \)‑Лапласиана. Показано, что тождества и вытекающие из них оценки позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что дает возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения. В первой части статьи теория и приложения касаются стационарных моделей, а затем основные результаты переносятся на эволюционные модели с монотонными пространственными операторами. Библ. 30. Фиг. 2.

В статье рассматривается проблема существования решения краевой задачи, непрерывно зависящего от граничных условий. Ранее такой факт был известен только для задачи Коши и является классическим в теории дифференциальных уравнений. В работе удалось обосновать аналогичную ситуацию и для краевых задач при наличии свойства \(p\)-регулярности задачи. В общем случае этот факт, вообще говоря, неверен. В данной работе доказывается несколько теорем о неявной функции в случае вырождения, что является развитием теории \(p\)-регулярности в направлении решения проблем существования решения нелинейных дифференциальных уравнений. Как иллюстрация полученных результатов, приводится пример классической краевой задачи – вырожденного уравнения Ван дер Поля и доказывается существование решения, непрерывно зависящего от граничных условий возмущенной задачи. Библ. 9.

Рассматривается задача динамической реконструкции граничного неизвестного входного воздействия для нелинейной системы дифференциальных уравнений с распределенными параметрами типа реакции–диффузии. Представлен алгоритм ее решения, который основан на конструкциях теории управления с обратной связью. Библ. 19.

Для задачи оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты рассматривается итерационный метод поиска численного решения, основанный на редукции к конечномерной задаче и применении к последней алгоритма последовательной линеаризации с использованием модифицированной функции Лагранжа. Для решения линейных вспомогательных задач на итерациях метода используется метод приведенного градиента. Эффективность учета фазовых ограничений при расчете оптимального управления иллюстрируется численным решением задач из области аэродинамики и робототехники. Библ. 12. Фиг. 2.

Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с тождественно вырожденной в области определения матрицей при старшей производной искомой вектор-функции и с нагружениями в виде интегральных операторов Вольтерра и Фредгольма. При постановке начальных задач задаются проекторы на допустимые множества начальных векторов. Особое внимание уделено системам при наличии на отрезке интегрирования особых точек. В статье формализовано понятие особой точки. В случае дифференциальных уравнений дана их классификация. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих теоретические результаты. Библ. 30.

Доказывается отсутствие решений полулинейных параболических неравенств и систем высокого порядка с сингулярным потенциалом и нелокальными источниками. Доказательства основаны на методе пробных функций, разработанном Э. Митидиери и С.И. Похожаевым. Библ. 13.

Рассматривается задача Коши для одного модельного нелинейного уравнения с градиентной нелинейностью. Для этой задачи Коши в работе доказано существование двух критических показателей \({{q}_{1}} = 2\) и \({{q}_{2}} = 3\) таких, что при \(1 < q\;\leqslant \;{{q}_{1}}\) отсутствует локальное во времени в некотором смысле слабое решение, при \(q > {{q}_{1}}\) локальное во времени слабое решение появляется, однако при \({{q}_{1}} < q\;\leqslant \;{{q}_{2}}\) отсутствует глобальное во времени слабое решение. Библ. 17.

Работа посвящена изучению свойств современных схем семейства WENO с целью их дальнейшего применения в вихреразрешающих расчетах методом крупных вихрей (LES). Выбрана схема WENO-ZM5, которая относится к классу WENO-схем с модификацией индикаторов гладкости (“противопоточных”), и схема WENO-SYMBOO6, использующая симметричный шаблон (“симметричная WENO-схема”). Проведено сравнение схем на модельных одномерных задачах (уравнение переноса, Хопфа, Бюргерса) как с гладкими, так и с разрывными решениями. Представлены результаты LES-моделирования распада изотропной турбулентности. Решения, полученные по новым схемам, сопоставлены с решениями по центрально-разностной схеме, классической схеме WENO5 и гибридной схеме. На основе анализа энергетического спектра проведено сравнение уровня диссипативности схем. Аналогичное сравнение проведено в LES-расчете задачи о временно́м слое смешения, где в дополнение к энергетическому спектру рассмотрены профили средней скорости и напряжений Рейнольдса. Библ. 29. Фиг. 13. Табл. 2.