Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 74, № 1 (2019)
- Год: 2019
- Статей: 7
- URL: https://journals.rcsi.science/0042-1316/issue/view/7508
Гомологии Хегора-Флоера
Аннотация
Гомологии Хегора–Флоера – инвариант узлов, зацеплений и трехмерных многообразий, введенный в работах П. Ожвата и З. Сабо около пятнадцати лет назад. В обзоре дается определение гомологий Хегора–Флоера и описываются основные их свойства. Кроме того, обсуждается связь гомологий Хегора–Флоера с инвариантами особенностей кривых и поверхностей.Библиография: 72 названия.
Успехи математических наук. 2019;74(1):3-40
3-40
Классификация систем Морса–Смейла и топологическая структура несущих многообразий
Аннотация
Системы Морса–Смейла естественным образом возникают в приложениях при математическом моделировании процессов с регулярной динамикой (например, в цепочках связанных отображений, описывающих реакции диффузии, или при изучении топологии магнитных полей в проводящей среде, в частности при исследовании вопроса существования сепараторов в магнитных полях хорошо проводящих сред). Поскольку математические модели в форме систем Морса–Смейла появляются при описании процессов, имеющих разную природу, первым шагом в изучении таких моделей является выделение свойств, не зависящих от физического контекста, но определяющих разбиение фазового пространства на траектории. Отношение, сохраняющее разбиение на траектории с точностью до гомеоморфизма, называется топологической эквивалентностью, а отношение, сохраняющее дополнительно время движения по траекториям (непрерывное в случае потоков и дискретное в случае каскадов), называется топологической сопряженностью. Задача топологической классификации динамических систем состоит в поиске инвариантов, однозначно определяющих класс эквивалентности или сопряженности для заданной системы. Настоящий обзор посвящен изложению результатов по топологической классификации систем Морса–Смейла на замкнутых многообразиях, включая результаты, полученные авторами в последнее время. Также приведены недавние результаты авторов, относящиеся к взаимосвязи между глобальной динамикой таких систем и топологической структурой несущих многообразий. Библиография: 112 названий.
Успехи математических наук. 2019;74(1):41-116
41-116
Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений
Аннотация
Обсуждается связь тензорных инвариантов систем дифференциальных уравнений с проблемой их точного интегрирования. Доказана общая теорема об интегрируемости динамических систем, допускающих полный набор интегральных инвариантов по Картану. Наличие инвариантной $1$-формы связано с возможностью представления динамической системы в гамильтоновой форме (возможно, с вырожденной симплектической структурой). Эта общая идея продемонстрирована на примере линейных систем дифференциальных уравнений. Введено общее понятие флагов тензорных инвариантов. Установлены общие соотношения между показателями Ковалевской квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и флагами квазиоднородных тензорных инвариантов известной структуры. Результаты общего характера применены, в частности, для доказательства ветвления общего решения уравнений вращения твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина. Библиография: 50 названий.
Успехи математических наук. 2019;74(1):117-148
117-148
Топологическая интегрируемость, классический и квантовый хаос и теория динамических систем в физике конденсированного состояния
Аннотация
Обзор посвящен вопросам, связанным с исследованием задачи С. П. Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости с разными числами квазипериодов. Мы рассматриваем здесь историю вопроса, современное состояние исследований в данной области, а также ряд приложений данной задачи к различным физическим проблемам. Основное внимание уделяется при этом приложениям результатов, полученных в рассматриваемой области, к теории транспортных явлений в электронных системах. Библиография: 56 названий.
Успехи математических наук. 2019;74(1):149-184
149-184
К вопросу М. Громова об обобщенной теореме Лиувилля
Успехи математических наук. 2019;74(1):185-186
185-186
Свободные алгебры автоморфных форм Гильберта
Успехи математических наук. 2019;74(1):187-188
187-188
Борис Руфимович Вайнберг (к восьмидесятилетию со дня рождения)
Успехи математических наук. 2019;74(1):189-194
189-194