Classification of Morse–Smale systems and topological structure of the underlying manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Morse–Smale systems arise naturally in applications for mathematical modelling of processes with regular dynamics (for example, in chains of coupled maps describing diffusion reactions, or in the study of the topology of magnetic fields in a conducting medium, in particular, in the study of the question of existence of separators in magnetic fields of highly conducting media). Since mathematical models in the form of Morse–Smale systems appear in the description of processes of various nature, the first step in the study of such models is to distinguish properties independent of the physical context but determining a partition of the phase space into trajectories. The relation preserving the partition into trajectories up to a homeomorphism is called topological equivalence, and the relation preserving also the time of motion along trajectories (continuous in the case of flows, and discrete in the case of cascades) is called topological conjugacy. The problem of topological classification of dynamical systems consists in finding invariants that uniquely determine the equivalence class or the conjugacy class for a given system. The present survey is devoted to a description of results on topological classification of Morse–Smale systems on closed manifolds, including results recently obtained by the authors. Also presented are recent results of the authors concerning the interconnections between the global dynamics of such systems and the topological structure of the underlying manifolds.Bibliography: 112 titles.

About the authors

Vyacheslav Zigmuntovich Grines

National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod Branch

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Yakovlevna Gurevich

National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod Branch

Email: elena_gurevich@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Evgenii Viktorovich Zhuzhoma

National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod Branch

Email: zhuzhoma@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Olga Vital'evna Pochinka

National Research University "Higher School of Economics", Nizhny Novgorod Branch

Email: olga-pochinka@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин, “Грубые системы”, Докл. АН СССР, 14:5 (1937), 247–250
  2. Д. В. Аносов, “Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны”, Докл. АН СССР, 145:4 (1962), 707–709
  3. Д. В. Аносов, “Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны”, Тр. МИАН СССР, 90, 1967, 3–210
  4. С. Х. Аpансон, “Тpаектоpии на неоpиентиpуемых двумеpных многообpазиях”, Матем. сб., 80(122):3(11) (1969), 314–333
  5. R. H. Fox, E. Artin, “Some wild cells and spheres in three-dimensional space”, Ann. of Math. (2), 49:4 (1948), 979–990
  6. D. Asimov, “Round handles and non-singular Morse–Smale flows”, Ann. of Math. (2), 102:1 (1975), 41–54
  7. D. Asimov, “Homotopy of non-singular vector fields to structurally stable ones”, Ann. of Math. (2), 102:1 (1975), 55–65
  8. F. Beguin, “Classification des diffeomorphismes de Smale des surfaces: types geometriques realisables”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52:4 (2002), 1135–1185
  9. F. Beguin, “Smale diffeomorphisms of surfaces: a classification algorithm”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 11:2-3 (2004), 261–310
  10. А. Н. Безденежных, В. З. Гринес, “Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. I, II”, Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Межвуз. темат. сб. науч. тр., Изд-во Горьковск. ун-та, Горький, 1985, 1987, 22–38, 24–31
  11. А. Н. Безденежных, В. З. Гринес, “Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий”, Дифференциальные и интегральные уравнения, Сб. науч. тр., Изд-во Горьковск. ун-та, Горький, 1985, 33–37
  12. C. Bonatti, V. Grines, “Knots as topological invariants for gradient-like diffeomorphisms of the sphere $S^3$”, J. Dynam. Control Systems, 6:4 (2000), 579–602
  13. C. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pecou, “Three-manifolds admitting Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves”, Topology Appl., 117:3 (2002), 335–344
  14. C. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pecou, “Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds”, Topology, 43:2 (2004), 369–391
  15. Х. Бонатти, В. З. Гринес, О. В. Починка, “Классификация диффеоморфизмов Морса–Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 250, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 5–53
  16. Ch. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, “Classification of Morse–Smale diffeomorphisms with the chain of saddles on 3-manifolds”, Foliations 2005, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, 121–147
  17. Х. Бонатти, В. З. Гринес, О. В. Починка, “Реализация диффеоморфизмов Морса–Смейла на $3$-многообразиях”, Порядок и хаос в динамических системах, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 297, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2017, 46–61
  18. Ch. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on 3-manifolds, 2017, 48 pp.
  19. Ch. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, S. Van Strien, A complete topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on surfaces: a kind of kneading theory in dimension two, preprint
  20. C. Bonatti, R. Langevin, Diffeomorphismes de Smale des surfaces, Asterisque, 250, Soc. Math. France, Paris, 1998, viii+235 pp.
  21. Ch. Bonatti, L. Paoluzzi, “3-manifolds which are orbit spaces of diffeomorphisms”, Topology, 47:2 (2008), 71–100
  22. M. Brown, “Locally flat imbeddings of topological manifolds”, Ann. of Math. (2), 75:2 (1962), 331–341
  23. B. Campos, A. Cordero, J. Martinez-Alfaro, P. Vindel, “NMS flows on three-dimensional manifolds with one saddle periodic orbit”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 20:1 (2004), 47–56
  24. B. Campos, J. Martinez-Alfaro, P. Vindel, “Bifurcations of links of periodic orbits in non-singular Morse–Smale systems on $S^3$”, Nonlinearity, 10:5 (1997), 1339–1355
  25. B. Campos, P. Vindel, “Non equivalence of NMS flows on $S^3$”, Math. Bohemica, 137:2 (2012), 165–173
  26. J. C. Cantrell, “Almost locally flat embeddings $S^{n-1}$ in $S^{n}$”, Bull. Amer. Math. Soc., 69:4 (1963), 716–718
  27. J. C. Cantrell, C. H. Edwards, “Almost locally polyhedral curves in Euclidean $n$-space”, Trans. Amer. Math. Soc., 107:3 (1963), 451–457
  28. A. Cobham, “The intrinsic computational difficulty of functions”, Logic, methodology, and philosophy of science, Proc. 1964 Internat. Congr., North-Holland, Amsterdam, 1965, 24–30
  29. H. Debrunner, R. Fox, “A mildly wild imbedding of an $n$-frame”, Duke Math. J., 27:3 (1960), 425–429
  30. J. Eells, Jr., N. H. Kuiper, “Manifolds which are like projective planes”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 14 (1962), 5–46
  31. G. Fleitas, “Classification of gradient-like flows on dimensions two and three”, Bol. Soc. Brasil. Mat., 6:2 (1975), 155–183
  32. J. Franks, “The periodic structure of non-singular Morse–Smale flows”, Comment. Math. Helv., 53 (1978), 279–294
  33. J. Franks, “Nonsingular Smale flows on $S^{3}$”, Topology, 24:3 (1985), 265–282
  34. В. З. Гринес, “Топологическая классификация диффеомоpфизмов Моpса–Смейла с конечным множеством гетеpоклинических тpаектоpий на повеpхностях”, Матем. заметки, 54:3 (1993), 3–17
  35. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса–Смейла на многообразиях размерности, большей трех”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 261, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 61–86
  36. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О классификации диффеоморфизмов Морса–Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 62–85
  37. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, О. В. Починка, “О включении диффеоморфизмов Морса–Смейла на 3-многообразии в топологический поток”, Матем. сб., 203:12 (2012), 81–104
  38. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, “Энергетическая функция градиенто-подобных потоков и проблема топологической классификации”, Матем. заметки, 96:6 (2014), 856–863
  39. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, “Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections”, Проблемы матем. анализа, 97, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2015, 73–81
  40. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, “Комбинаторный инвариант для каскадов Морса–Смейла без гетероклинических пересечений на сфере $S^n$, $ngeqslant 4$”, Матем. заметки, 105:1 (2019), 136–141
  41. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “О топологии многообразий, допускающих градиентно-подобные потоки с заданным неблуждающим множеством”, Матем. труды, 21:2 (2018), 163–180
  42. В. З. Гринес, С. Х. Капкаева, О. В. Починка, “Трехцветный граф как полный топологический инвариант для градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей”, Матем. сб., 205:10 (2014), 19–46
  43. V. Z. Grines, D. S. Malyshev, O. V. Pochinka, S. Kh. Zinina, “Efficient algorithms for the recognition of topologically conjugate gradient-like diffeomorphisms”, Regul. Chaotic Dyn., 21:2 (2016), 189–203
  44. V. Z. Grines, T. V. Medvedev, O. V. Pochinka, Dynamical systems on 2- and 3-manifolds, Dev. Math., 46, Springer, Cham, 2016, xxvi+295 pp.
  45. V. Grines, T. Medvedev, O. Pochinka, E. Zhuzhoma, “On heteroclinic separators of magnetic fields in electrically conducting fluids”, Phys. D, 294 (2015), 1–5
  46. В. З. Гринес, Т. М. Митрякова, О. В. Починка, “Новые топологические инварианты неградиентно-подобных диффеоморфизмов на ориентируемых поверхностях”, Тр. Средневолжского матем. о-ва, 7:1 (2005), 123–129
  47. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Новые соотношения для систем Морса–Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами”, Матем. сб., 194:7 (2003), 25–56
  48. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. C. Медведев, “О диффеоморфизмах Морса–Смейла с четырьмя периодическими точками на замкнутых ориентируемых многообразиях”, Матем. заметки, 74:3 (2003), 369–386
  49. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “О структуре несущего многообразия для систем Морса–Смейла без гетероклинических пересечений”, Порядок и хаос в динамических системах, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 297, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2017, 201–210
  50. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, О. В. Починка, “Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса–Смейла”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 271, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 111–133
  51. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, О. В. Починка, “Системы Морса–Смейла и топологическая структура несущих многообразий”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 61, РУДН, М., 2016, 5–40
  52. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, О. В. Починка, “Динамические системы и топология магнитных полей в проводящей среде”, Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, СМФН, 63, № 3, РУДН, М., 2017, 455–474
  53. Д. М. Гробман, “О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 128:5 (1959), 880–881
  54. Д. М. Гробман, “Топологическая классификация окрестностей особой точки в $n$-мерном пространстве”, Матем. сб., 56(98):1 (1962), 77–94
  55. Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О многообразиях размерности $n$, допускающих диффеоморфизмы с седловыми точками индексов $1$ и $n-1$”, Тр. Cредневолжского матем. о-ва, 8:1 (2006), 204–208
  56. C. Gutierrez, “Structural stability for flows on the torus with a cross-cap”, Trans. Amer. Math. Soc., 241 (1978), 311–320
  57. P. Hartman, “On the local linearization of differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 14:4 (1963), 568–573
  58. M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math., 583, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1977, ii+149 pp.
  59. M. A. Kervaire, J. W. Milnor, “Groups of homotopy spheres. I”, Ann. of Math. (2), 77:3 (1963), 504–537
  60. R. C. Kirby, “On the set of non-locally flat points of a submanifold of codimension one”, Ann. of Math. (2), 88:2 (1968), 281–290
  61. V. Kruglov, D. Malyshev, O. Pochinka, “Topological classification of $Omega$-stable flows on surfaces by means of effectively distinguishable multigraphs”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38:9 (2018), 4305–4327
  62. V. E. Kruglov, D. S. Malyshev, O. V. Pochinka, “On algorithms that effectively distinguish gradient-like dynamics”, Regul. Chaotic Dyn. (to appear)
  63. R. Langevin, “Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Morse–Smale d'une surface”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 43:1 (1993), 265–278
  64. J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Grad. Texts in Math., 218, 2nd rev. ed., Spinger, New York, 2013, xvi+708 pp.
  65. Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, “О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории”, Докл. АН СССР, 14:5 (1937), 251–257
  66. Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, “О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории”, Докл. АН СССР, 103:4 (1955), 557–560
  67. А. Г. Майер, “Грубое преобразование окружности в окружность”, Уч. зап. Горьк. гос. ун-та, 1939, № 12, 215–229
  68. N. G. Markley, “The Poincare–Bendixson theorem for the Klein bottle”, Trans. Amer. Math. Soc., 135 (1969), 159–165
  69. Y. Matsumoto, An introduction to Morse theory, Transl. from the Japan., Transl. Math. Monogr., 208, Iwanami Series in Modern Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xiv+219 pp.
  70. С. В. Матвеев, “Классификация достаточно больших трехмерных многообразий”, УМН, 52:5(317) (1997), 147–174
  71. V. S. Medvedev, E. V. Zhuzhoma, “Morse–Smale systems with few non-wandering points”, Topology Appl., 160:3 (2013), 498–507
  72. K. R. Meyer, “Energy functions for Morse Smale systems”, Amer. J. Math., 90:4 (1968), 1031–1040
  73. J. Milnor, “On manifolds homeomorphic to the 7-sphere”, Ann. of Math. (2), 64:2 (1956), 399–405
  74. Дж. Милнор, Теория Морса, Изд-во Платон, Волгоград, 1996, 184 с.
  75. Т. М. Митрякова, О. В. Починка, “О необходимых и достаточных условиях топологической сопряженности диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом орбит гетероклинического касания”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 198–219
  76. J. W. Morgan, “Non-singular Morse–Smale flows on 3-dimensional manifolds”, Topology, 18:1 (1979), 41–53
  77. M. Morse, The calculus of variations in the large, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 18, Amer. Math. Soc., New York, 1934, xii+368 pp.
  78. J. Nielsen, “Die Structur periodischer Transformationen von Flächen”, Danske Vidensk. Selsk. Math.-Fys. Medd., 15:1 (1937), 1–77
  79. I. Nikolaev, “Graphs and flows on surfaces”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 18:1 (1998), 207–220
  80. I. Nikolaev, E. Zhuzhoma, Flows on 2-dimensional manifolds. An overview, Lecture Notes in Math., 1705, Springer-Verlag, Berlin, 1999, xx+294 pp.
  81. А. А. Ошемков, В. В. Шарко, “О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях”, Матем. сб., 189:8 (1998), 93–140
  82. J. Palis, “On Morse–Smale dynamical systems”, Topology, 8:4 (1969), 385–404
  83. Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. Введение, Мир, М., 1986, 302 с.
  84. J. Palis, S. Smale, “Structural stability theorems”, Global analysis (Berkeley, CA, 1968), Proc. Sympos. Pure Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1970, 223–231
  85. M. M. Peixoto, “On structural stability”, Ann. of Math. (2), 69 (1959), 199–222
  86. M. M. Peixoto, “Structural stability on two-dimensional manifolds”, Topology, 1:2 (1962), 101–120
  87. M. M. Peixoto, “On the classification of flows on 2-manifolds”, Dynamical systems, Proc. Symp. Dyn. Syst. (Univ. Bahia, Salvador, 1971), Academic Press, New York, 1973, 389–419
  88. Я. Б. Песин, А. А. Юрченко, “Некоторые физические модели, описываемые уравнением реакции-диффузии, и цепочки связанных отображений”, УМН, 59:3(357) (2004), 81–114
  89. С. Ю. Пилюгин, “Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса–Смейла без периодических траекторий на сферах”, Дифференц. уравнения, 14:2 (1978), 245–254
  90. D. Pixton, “Wild unstable manifolds”, Topology, 16:2 (1977), 167–172
  91. В. А. Плисс, “О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе”, Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. Астрон., 13 (1960), 15–23
  92. А. О. Пришляк, “Векторные поля Морса–Смейла без замкнутых траекторий на трехмерных многообразиях”, Матем. заметки, 71:2 (2002), 254–260
  93. А. О. Пришляк, “Полный топологический инвариант потоков Морса–Смейла и разложений на ручки трeхмерных многообразий”, Фундамент. и прикл. матем., 11:4 (2005), 185–196
  94. C. Pugh, M. Shub, “The $Omega$-stability theorem for flows”, Invent. Math., 11:2 (1970), 150–158
  95. C. C. Pugh, R. B. Walker, F. W. Wilson, “On Morse–Smale approximations – a counterexample”, J. Differential Equations, 23:1 (1977), 173–182
  96. T. Rado, “Über den Begriff der Riemannschen Fläche”, Acta Univ. Szeged, 2 (1925), 101–121
  97. Г. Зейферт, В. Трельфалль, Топология, ГОНТИ, М.–Л., 1938, 400 с.
  98. M. Shub, D. Sullivan, “Homology theory and dynamical systems”, Topology, 14:2 (1975), 109–132
  99. S. Smale, “Morse inequalities for a dynamical system”, Bull. Amer. Math. Soc., 66 (1960), 43–49
  100. S. Smale, “On gradient dynamical systems”, Ann. of Math. (2), 74:1 (1961), 199–206
  101. S. Smale, “Diffeomorphisms with many periodic points”, Differential and combinatorial topology, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965, 63–80
  102. С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, УМН, 25:1(151) (1970), 113–185
  103. Я. Л. Уманский, “Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса–Смейла с конечным числом особых траекторий”, Матем. сб., 181:2 (1990), 212–239
  104. И. Ю. Власенко, “О полном инварианте диффеоморфизмов Морса–Смейла на неориентируемых поверхностях”, УМН, 54:5(329) (1999), 155–156
  105. M. Wada, “Closed orbits of non-singular Morse–Smale flows on $S^3$”, J. Math. Soc. Japan, 41:3 (1989), 405–413
  106. F. Waldhausen, “On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large”, Ann. of Math. (2), 87 (1968), 56–88
  107. X. Wang, “The $C^*$-algebras of Morse–Smale flows on two-manifolds”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 10:3 (1990), 565–597
  108. K. Yokoyama, “Classification of periodic maps on compact surfaces. I”, Tokyo J. Math., 6:1 (1983), 75–94
  109. B. Yu, “Behavior 0 nonsingular Morse Smale flows on $S^3$”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 36:1 (2016), 509–540
  110. Е. В. Жужома, В. C. Медведев, “Градиентные потоки с дико вложенными замыканиями сепаратрис”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 138–146
  111. Е. В. Жужома, В. C. Медведев, “Системы Морса–Смейла с тремя неблуждающими точками”, Докл. РАН, 440:1 (2011), 11–14
  112. Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Непрерывные потоки Морса–Смейла с тремя состояниями равновесия”, Матем. сб., 207:5 (2016), 69–92

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Grines V.Z., Gurevich E.Y., Zhuzhoma E.V., Pochinka O.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».