Tensor invariants and integration of differential equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The connection between tensor invariants of systems of differential equations and explicit integration of them is discussed. A general result on the integrability of dynamical systems admitting a complete set of integral invariants in the sense of Cartan is proved. The existence of an invariant 1-form is related to the representability of the dynamical system in Hamiltonian form (with a symplectic structure which may be degenerate). This general idea is illustrated using an example of linear systems of differential equations. A general concept of flags of tensor invariants is introduced. General relations between the Kovalevskaya exponents of quasi-homogeneous systems of differential equations and flags of quasi-homogeneous tensor invariants having a certain structure are established. Results of a general nature are applied, in particular, to show that the general solution of the equations of rotation for a rigid body is branching in the Goryachev–Chaplygin case.Bibliography: 50 titles.

About the authors

Valery Vasil'evich Kozlov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: kozlov@pran.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, М., 2005, 584 с.
  2. А. Пуанкаре, Теория вероятностей, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 1999, 276 с.
  3. И. Тамура, Топология слоений, Мир, М., 1979, 319 с.
  4. А. Н. Колмогоров, “О динамических системах с интегральным инвариантом на торе”, Докл. АН СССР, 93:5 (1953), 763–766
  5. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, М., 1989, 639 с.
  6. В. В. Козлов, “Замечания об одной теореме Ли, касающейся точной интегрируемости дифференциальных уравнений”, Дифференц. уравнения, 41:4 (2005), 553–555
  7. J. F. Cariñena, F. Falceto, J. Grabowski, M. F. Rañada, Geometry of Lie integrability by quadratures, 2014, 18 pp.
  8. V. V. Kozlov, “The Euler–Jacobi–Lie integrability theorem”, Regul. Chaotic Dyn., 18:4 (2013), 329–343
  9. В. И. Арнольд, “Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики”, Сиб. матем. журн., 4:2 (1963), 471–474
  10. R. Jost, “Winkel- und Wirkungsvariable für allegemeine mechanische Systeme”, Helv. Phys. Acta, 41 (1968), 965–968
  11. В. В. Козлов, Н. Н. Колесников, “Об интегрируемости гамильтоновых систем”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1979, № 6, 88–91
  12. В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
  13. J. Williamson, “An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 62 (1940), 881–911
  14. H. Kocak, “Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics”, J. Math. Phys., 23:12 (1982), 2375–2380
  15. В. Вольтерра, “Об одном классе уравнений динамики”, Система Клебша. Разделение переменных, явное интегрирование?, ред. А. В. Борисов, А. В. Цыганов, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2009, 166–192
  16. И. А. Бизяев, В. В. Козлов, “Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли–Пуассона и метод Ковалевской”, Матем. сб., 206:12 (2015), 29–54
  17. В. В. Козлов, “Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана”, Добавление в кн.: Э. Картан, Интегральные инварианты, 2-е изд., Едиториал УРСС, М., 2005, 217–258
  18. F. Magri, “A simple model of the integrable Hamiltonian equation”, J. Math. Phys., 19:5 (1978), 1156–1162
  19. А. В. Болсинов, “Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 68–92
  20. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2003, 294 с.
  21. Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Гостехиздат, М.–Л., 1941, 320 с.
  22. R. M. Santilli, Foundations of theoretical mechanics, v. II, Texts Monogr. Phys., Birkhoffian generalization of Hamiltonian mechanics, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xix+370 pp.
  23. В. В. Козлов, Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2013, 324 с.
  24. Э. Картан, Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 216 с.
  25. В. В. Козлов, “Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом”, Алгебра и анализ, 30:5 (2018), 159–168
  26. V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
  27. Д. В. Трещев, А. А. Шкаликов, “О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве”, Матем. заметки, 101:6 (2017), 911–918
  28. Ш.-Ж. де ла Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. 2, ГТТИ, Л.–М., 1933, 469 с.
  29. V. Volterra, “Sur la theorie des variations des latitudes”, Acta Math., 22 (1899), 201–357
  30. В. И. Арнольд, “Полиинтегрируемые потоки”, Алгебра и анализ, 4:6 (1992), 54–62
  31. В. В. Козлов, “Динамические системы на торе с многозначными интегралами”, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256, Наука, М., 2007, 201–218
  32. С. П. Новиков, “Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса”, УМН, 37:5(227) (1982), 3–49
  33. И. А. Дынников, С. П. Новиков, “Топология квазипериодических функций на плоскости”, УМН, 60:1(361) (2005), 3–28
  34. V. V. Kozlov, “Symmetries and regular behavior of Hamiltonian systems”, Chaos, 6:1 (1996), 1–5
  35. С. А. Чаплыгин, “Новое частное решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки”, Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания, 12:1 (1904), 1–4
  36. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 384 с.
  37. С. А. Чаплыгин, “Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости”, Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания, 11:2 (1903), 7–10
  38. К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, М.–Л., 1936, 272 с.
  39. S. Kowalewski, “Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe”, Acta Math., 12:2 (1889), 177–232
  40. А. М. Ляпунов, “Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку”, Сообщ. Харьк. матем. о-ва. Сер. 2, 4 (1894), 123–140
  41. Р. Конт, М. Мюзетт, Метод Пенлеве и его приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2011, 340 с.
  42. H. Yoshida, “Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I. Kowalevski's exponents”, Celestial Mech., 31:4 (1983), 363–379
  43. В. В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Изд-во Удмуртского ун-та, Ижевск, 1995, 429 с.
  44. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской–Ляпунова”, Матем. заметки, 51:2 (1992), 46–52
  45. S. D. Furta, “On non-integrability of general systems of differential equations”, Z. Angew. Math. Phys., 47:1 (1996), 112–131
  46. А. В. Борисов, А. В. Цыгвинцев, “Показатели Ковалевской и интегрируемые сиистемы классической динамики. I, II”, Regul. Chaotic Dyn., 1:1 (1996), 15–37
  47. В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2009, 312 с.
  48. P. Lochak, “Pairing of the Kowalevska exponents in Hamiltonian systems”, Phys. Lett. A, 108:4 (1985), 188–190
  49. С. Т. Садэтов, “Резонансы на показатели Ковалевской и их память о некоторых тензорных законах сохранения”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1994, № 1, 82–87
  50. A. J. Maciejewski, M. Przybylska, “Global properties of Kovalevskaya exponents”, Regular Chaotic Dyn., 22:7 (2017), 840–850

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Kozlov V.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».