Introduction to Heegaard Floer homology

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Heegaard Floer homology is an invariant of knots, links, and 3-manifolds introduced by Ozsvath and Szabo about 15 years ago. This survey defines Heegaard Floer homology and describes its basic properties. Also discussed is the relation between Heegaard Floer homology and invariants of singularities of curves and surfaces.Bibliography: 72 titles.

About the authors

Evgeny Aleksandrovich Gorsky

Lomonosov Moscow State University; International Laboratory of Representation Theory and Mathematical Physics, National Research University Higher School of Economics; University of California, Davis

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. В. И. Арнольд, “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”, Функц. анализ и его прил., 1:1 (1967), 1–14
  2. M. Artin, “On isolated rational singularities of surfaces”, Amer. J. Math., 88 (1966), 129–136
  3. M. F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, “Clifford modules”, Topology, 3, suppl. 1 (1964), 3–38
  4. M. Borodzik, M. Hedden, C. Livingston, “Plane algebraic curves of arbitrary genus via Heegaard Floer homology”, Comment. Math. Helv., 92:2 (2017), 215–256
  5. M. Borodzik, C. Livingston, “Heegaard Floer homology and rational cuspidal curves”, Forum Math. Sigma, 2 (2014), e28, 23 pp.
  6. M. Borodzik, C. Livingston, “Semigroups, $d$-invariants and deformations of cuspidal singular points of plane curves”, J. Lond. Math. Soc. (2), 93:2 (2016), 439–463
  7. S. Boyer, A. Clay, “Foliations, orders, representations, L-spaces and graph manifolds”, Adv. Math., 310 (2017), 159–234
  8. S. Boyer, C. McA. Gordon, L. Watson, “On L-spaces and left-orderable fundamental groups”, Math. Ann., 356:4 (2013), 1213–1245
  9. S. Boyer, D. Rolfsen, B. Wiest, “Orderable 3-manifold groups”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55:1 (2005), 243–288
  10. A. Campillo, F. Delgado, S. M. Gusein-Zade, “The Alexander polynomial of a plane curve singularity via the ring of functions on it”, Duke Math. J., 117:1 (2003), 125–156
  11. P. Dehornoy, “Braid groups and left distributive operations”, Trans. Amer. Math. Soc., 345:1 (1994), 115–150
  12. P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen, B. Wiest, Why are braids orderable?, Panor. Synthèses, 14, Soc. Math. France, Paris, 2002, xiv+190 pp.
  13. S. K. Donaldson, “An application of gauge theory to four-dimensional topology”, J. Differential Geom., 18:2 (1983), 279–315
  14. D. Eisenbud, W. Neumann, Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities, Ann. of Math. Stud., 110, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1985, vii+173 pp.
  15. Я. Элиашберг, Л. Трейнор (ред.), Лекции по симплектической геометрии и топологии, МЦНМО, М., 2008, 424 с.
  16. N. D. Elkies, “A characterization of the $mathbb{Z}^n$ lattice”, Math. Res. Lett., 2:3 (1995), 321–326
  17. J. Fernandez de Bobadilla, I. Luengo-Velasco, A. Melle-Hernandez, A. Nemethi, “On rational cuspidal projective plane curves”, Proc. London Math. Soc. (3), 92:1 (2006), 99–138
  18. P. Ghiggini, “Knot Floer homology detects genus-one fibred knots”, Amer. J. Math., 130:5 (2008), 1151–1169
  19. E. Gorsky, A. Nemethi, “Lattice and Heegaard Floer homologies of algebraic links”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2015:23 (2015), 12737–12780
  20. E. Gorsky, A. Nemethi, “Links of plane curve singularities are $L$-space links”, Algebr. Geom. Topol., 16:4 (2016), 1905–1912
  21. H. Grauert, “Über Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen”, Math. Ann., 146:4 (1962), 331–368
  22. D. V. Gugnin, On integral cohomology ring of symmetric products, 2017 (v1 – 2015), 17 pp.
  23. A. Haefliger, “Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibre”, C. R. Acad. Sci. Paris, 243 (1956), 558–560
  24. J. Hanselman, “Bordered Heegaard Floer homology and graph manifolds”, Algebr. Geom. Topol., 16:6 (2016), 3103–3166
  25. J. Hanselman, J. Rasmussen, S. D. Rasmussen, L. Watson, Taut foliations on graph manifolds, 2015, 9 pp.
  26. J. Hom, “A note on the concordance invariants epsilon and upsilon”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:2 (2016), 897–902
  27. J. Hom, Ç. Karakurt, T. Lidman, “Surgery obstructions and Heegaard Floer homology”, Geom. Topol., 20:4 (2016), 2219–2251
  28. H. B. Laufer, “On rational singularities”, Amer. J. Math., 94:2 (1972), 597–608
  29. H. B. Lawson, Jr., M.-L. Michelsohn, Spin geometry, Princeton Math. Ser., 38, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1989, xii+427 pp.
  30. W. B. R. Lickorish, “A representation of orientable combinatorial 3-manifolds”, Ann. of Math. (2), 76:3 (1962), 531–540
  31. P. A. Linnell, “Left ordered amenable and locally indicable groups”, J. Lond. Math. Soc. (2), 60:1 (1999), 133–142
  32. P. Lisca, A. I. Stipsicz, “Ozsvath–Szabo invariants and tight contact 3-manifolds. III”, J. Symplectic Geom., 5:4 (2007), 357–384
  33. B. Liu, Heegaard Floer homology of $L$-space links with two components, 2017, 23 pp.
  34. Y. Liu, “$L$-space surgeries on links”, Quantum Topol., 8:3 (2017), 505–570
  35. I. G. MacDonald, “Symmetric products of an algebraic curve”, Topology, 1 (1962), 319–343
  36. C. Manolescu, “$operatorname{Pin}(2)$-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the triangulation conjecture”, J. Amer. Math. Soc., 29:1 (2016), 147–176
  37. C. Manolescu, P. Ozsvath, Heegaard Floer homology and integer surgeries on links, 2017 (v1 – 2010), 231 pp.
  38. С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1998, 304 с.
  39. Д. Макдафф, Д. Саламон, Введение в симплектическую топологию, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2012, 568 с.
  40. A. Nemethi, “On the Ozsvath–Szabo invariant of negative definite plumbed 3-manifolds”, Geom. Topol., 9 (2005), 991–1042
  41. A. Nemethi, “Links of rational singularities, L-spaces and LO fundamental groups”, Invent. Math., 210:1 (2017), 69–83
  42. Y. Ni, “Knot Floer homology detects fibred knots”, Invent. Math., 170:3 (2007), 577–608
  43. Y. Ni, Z. Wu, “Heegaard Floer correction terms and rational genus bounds”, Adv. Math., 267 (2014), 360–380
  44. P. Ozsvath, A. Stipsicz, Z. Szabo, “Concordance homomorphisms from knot Floer homology”, Adv. Math., 315 (2017), 366–426
  45. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Absolutely graded Floer homologies and intersection forms for four-manifolds with boundary”, Adv. Math., 173:2 (2003), 179–261
  46. P. Ozsvath, Z. Szabo, “On the Floer homology of plumbed three-manifolds”, Geom. Topol., 7 (2003), 185–224
  47. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Heegaard Floer homology and alternating knots”, Geom. Topol., 7 (2003), 225–254
  48. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Knot Floer homology and the four-ball genus”, Geom. Topol., 7 (2003), 615–639
  49. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic disks and genus bounds”, Geom. Topol., 8 (2004), 311–334
  50. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic disks and knot invariants”, Adv. Math., 186:1 (2004), 58–116
  51. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds”, Ann. of Math. (2), 159:3 (2004), 1027–1158
  52. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications”, Ann. of Math. (2), 159:3 (2004), 1159–1245
  53. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Heegaard Floer homology and contact structures”, Duke Math. J., 129:1 (2005), 39–61
  54. P. Ozsvath, Z. Szabo, “On knot Floer homology and lens space surgeries”, Topology, 44:6 (2005), 1281–1300
  55. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic triangles and invariants for smooth four-manifolds”, Adv. Math., 202:2 (2006), 326–400
  56. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Heegaard diagrams and Floer homology”, International congress of mathematicians, v. II, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, 1083–1099
  57. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Knot Floer homology and integer surgeries”, Algebr. Geom. Topol., 8:1 (2008), 101–153
  58. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Link Floer homology and the Thurston norm”, J. Amer. Math. Soc., 21:3 (2008), 671–709
  59. P. Ozsvath, Z. Szabo, “Holomorphic disks, link invariants and the multi-variable Alexander polynomial”, Algebr. Geom. Topol., 8:2 (2008), 615–692
  60. В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, МЦНМО, М., 1997, 352 с.
  61. S. D. Rasmussen, “L-space intervals for graph manifolds and cables”, Compos. Math., 153:5 (2017), 1008–1049
  62. J. Rasmussen, S. D. Rasmussen, “Floer simple manifolds and L-space intervals”, Adv. Math., 322 (2017), 738–805
  63. J. Rasmussen, L. Watson, Floer Homology and low-dimensional topology, 2014, 64 pp.
  64. K. Reidemeister, “Zur dreidimensionalen Topologie”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 9:1 (1933), 189–194
  65. M. Scharlemann, “Heegaard splittings of compact 3-manifolds”, Handbook of geometric topology, North-Holland, Amsterdam, 2002, 921–953
  66. J. Schultens, Introduction to 3-manifolds, Grad. Stud. Math., 151, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, x+286 pp.
  67. R. Seroul, “Anneau de cohomologie entière et $KU^*$-theorie d'un produit symetrique d'une surface de Riemann”, Publ. Dep. Math. (Lyon), 9:4 (1972), 27–66
  68. J. Singer, “Three-dimensional manifolds and their Heegaard diagrams”, Trans. Amer. Math. Soc., 35:1 (1933), 88–111
  69. P. A. Smith, “Manifolds with abelian fundamental groups”, Ann. of Math. (2), 37:3 (1936), 526–533
  70. W. P. Thurston, “A norm for the homology of 3-manifolds”, Mem. Amer. Math. Soc., 59, № 339, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986, i-vi, 99–130
  71. V. Turaev, “Torsion invariants of $mathrm{Spin}^c$-structures on 3-manifolds”, Math. Res. Lett., 4:5 (1997), 679–695
  72. A. H. Wallace, “Modifications and cobounding manifolds”, Canad. J. Math., 12 (1960), 503–528

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Gorsky E.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».