Том 87, № 4 (2023)

Работа носит обзорный аналитический характер. Излагаются кватернионные и бикватернионные методы описания движения, модели теории конечных перемещений и регулярной кинематики твердого тела, основанные на использовании четырехмерных вещественных и дуальных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона). Эти модели, в отличие от классических моделей кинематики в углах Эйлера–Крылова и в их дуальных аналогах, не имеют особенностей типа деления на ноль и не содержат тригонометрических функций, что повышает эффективность аналитического исследования и численного решения задач механики, инерциальной навигации и управления движением. Обсуждается проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, лежащих в основе небесной механики и механики космического полета (астродинамики), с помощью использования параметров Эйлера, четырехмерных переменных Кустаанхеймо–Штифеля и их модификаций, кватернионов Гамильтона: проблема устранения особенностей типа сингулярностей (деления на ноль), которые порождаются действующими на небесное или космическое тело ньютоновскими гравитационными силами и которые осложняют аналитическое и численное исследование движения тела вблизи гравитирующих тел или его движения по сильно вытянутым орбитам. Излагается история проблемы регуляризации и регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля, нашедшие широкое применение в небесной механике и астродинамике. Излагаются кватернионные методы регуляризации, имеющие ряд преимуществ перед матричной регуляризацией Кустаанхеймо–Штифеля, и различные регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел (как для абсолютного, так и для относительного движения), которые целесообразно использовать для прогноза и коррекции орбитального движения небесных и космических тел.

В статье приведено решение задачи о возможных условиях регулярной прецессии при движении гиростата вокруг неподвижной точки под действием двух однородных и одного неоднородного поля. Для известного случая с равными скоростями прецессии и собственного вращения указаны новые решения с осью прецессии, отклоненной от оси симметрии неоднородного поля. Найдены новые случаи регулярной прецессии, когда отношение скоростей прецессии и собственного вращения равно двум либо одной второй. Рассмотрено применение результатов для прецессии в ортогональных полях и для прецессии твердого тела.

Рассматривается задача управления направлением силы тяги при движении инерционного объекта. Максимально возможная величина силы тяги постоянна и определяется максимальной силой сухого трения. На конечном интервале времени рассматривается задача о выводе объекта на заданную прямолинейную траекторию с одновременной максимизацией скорости в соответствующем направлении.

Рассмотрено влияние фазовых и иных ограничений на метод поиска траекторий гражданского сверхзвукового летательного аппарата, оптимальных по расходу топлива. На основании найденных методом динамического программирования решений, учитывающих многочисленные условия, которым должны удовлетворять высота полета, угол тангажа, нормальная перегрузка, скорость самолета, сила тяги двигателей и т.д., показано, что почти все эти условия во время начального этапа вычислений можно игнорировать, поскольку оптимальное решение на них не выходит. Следовательно, можно сначала применять принцип максимума, а метод динамического программирования использовать лишь в тех случаях, когда значительная часть ограничений оказывается существенна.

Рассматривается колебательный процесс стержневой системы произвольной формы при ударном взаимодействии с падающим грузом. Система может состоять из большого числа стержней, соединенных между собой жестко или шарнирно, причем нанесение удара предполагается по одному из стержневых элементов, вызывая, таким образом, сложный колебательный процесс. В качестве примера моделируются колебания жестко заделанной статически неопределимой плоской двухстоечной рамы, испытывающей падение груза заданной массы и предударной скорости. Одна из вертикальных стоек рамы имеет начальную кривизну, наличие которой влияет на максимальную амплитуду возникающих при ударе поперечных колебаний. Удар груза о ригель рамы моделируется при учете деформации в области контакта, что оправдано с точки зрения точности проводимых расчетов, поскольку в противном случае величина ударной силы окажется завышенной. При моделировании ударного взаимодействия груза и рассматриваемой стержневой системы принимается, что падающий груз имеет форму цилиндра с определенной длиной образующей. Используется линеаризация зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей. Предлагаемая методика моделирования амплитуды поперечных колебаний дает возможность дальнейшего исследования характеристик колебательного процесса в зависимости от массы падающего груза и его предударной скорости, а также от конфигурации стержневой системы. Подчеркивается актуальность работы для расчетов элементов конструкций самого различного назначения, испытывающих ударное воздействие, поскольку представленная модель может быть использована для инженерных расчетов широкого класса стержневых систем.

В работе развивается аналитический метод в классической задаче обтекания тонкой прямоугольной пластинки большого удлинения. Показывается, что при специальном разложении по ортогональным системам функций с весом, определяемым качественным поведением решения, исходное двумерное интегральное уравнение асимптотически эквивалентно множеству независимых одномерных интегральных уравнений. Для них строится асимптотический метод, родственный методу погран-слойных решений, который позволяет получить аналитические представления для основных аэродинамических характеристик. Сравнение с численным методом дискретных вихрей показывает, что точность полученного решения является высокой не только для больших, но и для средних удлинений крыла.

Дан вывод уравнения изгиба длинной цилиндрической оболочки с учетом статических и динамических давлений, действующих на обе ее поверхности. Особое внимание уделено роли граничных условий и давления, среднего между действующими на поверхности статическими давлениями. Учитывается обжатие стенки по толщине. Изучен линейный изгиб цилиндрической панели с произвольным углом раствора. Как особый случай рассмотрен изгиб замкнутой цилиндрической оболочки.