Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры

Ресурсные сети — динамические графовые модели, введенные в рассмотрение О. П. Кузнецовым и Л. Ю. Жиляковой. В основе модели лежат правила их функционирования. В работе предложен общий подход к определению функционирования ресурсных сетей, состоящий в задании на дугах ресурсной сети функции приоритетности, которая и определяет правила функционирования ресурсной сети. Ресурсные сети Кузнецова—Жиляковой являются частным случаем ресурсных сетей с приоритетами на дугах, когда все дуги имеют одинаковые приоритеты. Приведены примеры, показывающие, что ресурсные сети, имеющие одинаковую топологию, при разных функциях приоритетности функционируют по-разному. Получены критерии возникновения стационарного функционирования ресурсной сети с приоритетами на дугах, главным из которых является условие сбалансированности потока. Наиболее общим расширением понятия ресурсной сети является приведенное в работе определение ресурсной сети с динамическими приоритетами на дугах. В этом случае функция приоритетности, заданная на дугах сети, зависит от дискретного времени, в котором функционирует сеть.

Рассматривается оператор энергии шестиэлектронных систем в модели Хаббарда и исследуются структура существенного спектра и дискретный спектр системы для четвертого триплетного состояния системы. Доказано, что в одномерном и двумерном случаях существенный спектр оператора шестиэлектронного четвертого триплета является объединением семи отрезков, а дискретный спектр системы содержит не более одного собственного значения. В трехмерном случае имеют место следующие ситуации: (а) существенный спектр оператора шестиэлектронного четвертого триплета является объединением семи отрезков, а дискретный спектр содержит не более одного собственного значения; (б) существенный спектр является объединением четырех отрезков, а дискретный спектр пуст; (в) существенный спектр является объединением двух отрезков, а дискретный спектр пуст; (г) существенный спектр состоит из единственного отрезка, а дискретный спектр пуст. Найдены условия, при которых реализуется каждая ситуация.

Представлены примеры интегрируемых однородных по части переменных динамических систем третьего порядка, в которых может быть выделена система на касательном расслоении к двумерному многообразию. При этом силовое поле разделяется на внутреннее (консервативное) и внешнее, которое обладает диссипацией разного знака. Внешнее поле вводится с помощью некоторого унимодулярного преобразования и обобщает ранее рассмотренные поля. Приведены полные наборы как первых интегралов, так и инвариантных дифференциальных форм.