Том 27, № 139 (2022)

В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения f t; x; x =0, x0 +x(τ)=0. Предполагается, что отображение f :R×R n ×R n →R k , определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденностипервой производной infcovf v ' t,x,v : t,x,v ∈R×Rn ×Rn >0. Здесь cov A - константа Банаха линейного оператора A . Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения f, определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения x+ψx =0, представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение ψ, ставящее произвольной начальной точке x 0 значение решения задачи Коши в точке τ, корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.

В настоящей работе рассматривается численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, вычисляемое с помощью метода Нумерова. Предложен новый способ получения гарантированной оценки погрешности с помощью эллипсоидов. Численное решение заключается в эллипсоид, содержащий и точное, и численное решение задачи, который пересчитывается на каждом шаге. В отличие от ранее предложенного метода пересчета эллипсоидов, предлагается более точная оценка малых слагаемых в разностном уравнении для погрешности. Это приводит к более точной оценке погрешности численного решения и применимости предложенного метода оценки погрешности на интервалах большей длины. Приведены результаты оценки погрешности метода Нумерова при решении задачи двух тел на большом интервале. Этот численный эксперимент демонстрирует эффективность предложенного метода.

Рассматривается параметрическая задача вида f(x,y)→ inf, x∈M , где M - выпуклое замкнутое подмножество гильбертова или равномерно выпуклого пространства X , a y - параметр, принадлежащий топологическому пространству Y . Для этой задачи определено множество -оптимальных точек: a ϵy =x∈M|f(x, y)≤ infx∈M fx, y+ϵ , где ϵ>0 . Обсуждаются условия полунепрерывности и непрерывности многозначного отображения a ϵ . С использованием методов проекции градиентов и линеаризации получены теоремы о существовании непрерывных селекций многозначного отображения a ϵ . Одними из основных предположений этих теорем являются выпуклость функционала f(x,y) по переменной x на множестве M и непрерывность производной fx ' (x,y) на множестве M×Y . Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений к оптимизационным задачам.