On properties of solutions to differential systems modeling the electrical activity of the brain

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The Hopfield-type model of the dynamics of the electrical activity of the brain, which is a system of differential equations of the form v i =-αv i +j=1 nw jif δ v j +I it , i= 1,n , t≥0. is investigated. The model parameters are assumed to be given: α>0, w ji >0 for i≠j and w ii =0, I i ( t)≥0. The activation function f δ (δ is the time of the neuron transition to the state of activity) of two types is considered: δ=0⟹f 0v = 0, v≤θ, 1, v>θ; δ>0⟹ f δ v = 0,v≤θ, δ -1 v-θ ,θθ+δ. In the case of δ>0 (the function f δ is continuous), the solution of the Cauchy problem for the system under consideration exists, is unique, and is non-negative for non-negative initial values. In the case of δ=0 (the function f 0 is discontinuous at the point θ ), it is shown that the set of solutions of the Cauchy problem has the largest and the smallest solutions, estimates for the solutions are obtained, and an example of a system for which the Cauchy problem has an infinite number of solutions is given. In this study, methods of analysis of mappings acting in partially ordered spaces are used. An improved Hopfield model is also investigated. It takes into account the time of movement of an electrical impulse from one neuron to another, and therefore such a model is represented by a system of differential equations with delay. For such a system, both in the case of continuous and in the case of discontinuous activation function, it is shown that the Cauchy problem is uniquely solvable, estimates for the solution are obtained, and an algorithm for analytical finding of solution is described.

About the authors

Anastasia S. Lanina

Derzhavin Tambov State University

Email: lanina.anastasiia5@mail.ru
Master’s Degree Student in “Mathematics” Programm 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation

Elena A. Pluzhnikova

Derzhavin Tambov State University; V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS

Email: pluznikova_elena@mail.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department; Researcher 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation; 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation

References

  1. J.J. Hopfield, “Neural networks and physical systems with emergent collective computational properties”, Proc. Nat. Acad. Sci., 79 (1982), 2554-2558.
  2. В.Л. Быков, Цитология и общая гистология, Сотис, Санкт-Петербург, 2018.
  3. P. Van den Driesche, X. Zou, “Global attractivity in delayed Hopfield neural network models”, SIAM J. Appl. Math., 58 (1998), 1878-1890.
  4. А.С. Ланина, Е.А. Плужникова, “Об одной модели электрической активности головного мозга”, Моделирование и оптимизация сложных систем MOCS-2022, Тезисы докладов Международной школы молодых ученых (Суздаль, 30 июня - 5 июля), Аркаим, Владимир, 2022, 31-32.
  5. C.R. Laing, W. Troy, “Two-bump solutions of Amari-type models of neuronal pattern formation”, Physica D., 178 (2003), 190-218.
  6. M.R. Owen, C.R. Laing, S. Coombes, “Bumps and rings in a two-dimensional neural field: splitting and rotational instabilities”, New J. Phys., 9 (2007), 378.
  7. P. Blomquist, J. Wyller, G.T. Einevoll, “Localized activity patterns in two-population neuronal networks”, Physica D., 206 (2005), 180-212.
  8. A. Oleynik, A. Ponosov, J. Wyller, “On the properties of nonlinear nonlocal operators arising in neural field models”, J. Math. Anal. Appl., 398 (2013), 335-351.
  9. S. Coombes, M.R. Owen, “Evans functions for integral neural field equations with Heaviside firing rate function”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 4 (2004), 574-600.
  10. Е.О. Бурлаков, М.А. Насонкина, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: I. Общая теория”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 17-30.
  11. Е.О. Бурлаков, И.Н. Мальков, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 6-17.
  12. Е.С. Жуковский, “Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах”, Матем. сб., 195:9 (2004), 3-18.
  13. Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.
  14. E.O. Burlakov, E.S. Zhukovskiy, “On absrtact Volterra equations in partially ordered spaces and their applications”, Mathematical Analysis With Applications, International Conference in Honor of the 90th Birthday of Constantin Corduneanu. CONCORD-90 (Ekaterinburg, Russia, July 2018), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 318, eds. S. Pinelas, A. Kim, V. Vlasov, Springer, Switzerland, 2020, 3-11.
  15. С. Бенараб, З.Т. Жуковская, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О функциональных и дифференциальных неравенствах и их приложениях к задачам управления”, Дифференциальные уравнения, 56:11 (2020), 1471-1482.
  16. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Физматлит, М., 2019.
  17. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces”, Topology and its Applications, 179:1 (2015), 13-33.
  18. М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, Наука, М., 1975.
  19. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев, Краткий курс функционального анализа, Высшая школа, М., 1982.
  20. Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).