A problem with a non-local condition for a fourth-order equation with multiple characteristics

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this article, we consider a non-local problem with an integral condition for a fourth-order equation. The unique solvability of the problem is proved. The proof of the uniqueness of a solution is based on the a priori estimates derived in the paper. To prove the existence of a solution, the problem is reduced to two Goursat problems for second-order equations, and the equivalence of the stated problem and the resulting system of Goursat problems is proved. One of the problems of the system is the classical Goursat problem. The second problem is a characteristic problem for an integro-differential equation with a non-local integral condition on one of the characteristics. It is impossible to apply the well-known methods of substantiating the solvability of problems with conditions on characteristics to the study of this problem. The introduction of a new unknown function made it possible to reduce the second problem to an equation with a completely continuous operator, to verify, on the basis of the uniqueness theorem, that it is solvable and, by virtue of the proven equivalence of the problems, that the problem posed is solvable.

About the authors

Andrei V. Bogatov

Samara National Research University

Email: andrebogato@mail.ru
Post-Graduate Student, Differential Equations and Control Theory Department 34 Moskovskoye shosse St., Samara 443086, Russian Federation

Anton V. Gilev

Samara National Research University

Email: toshqaaa@gmail.com
Post-Graduate Student, Differential Equations and Control Theory Department 34 Moskovskoye shosse St., Samara 443086, Russian Federation

Ludmila S. Pulkina

Samara National Research University

Email: louise@samdiff.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Differential Equations and Control Theory Department 34 Moskovskoye shosse St., Samara 443086, Russian Federation

References

  1. G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, London, 1974.
  2. J.S. Rao, Advanced Theory of Vibration, Wiley, New York, 1992.
  3. A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk, “Multipoint initial-final value problems for dynamical Sobolev-type equations in the space of noises”, EJDE, 2018:128 (2018), 1-10.
  4. А.А. Замышляева, А.В. Юзеева, “Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2010, №5, 23-31.
  5. Я.Т. Мегралиев, Ф.Х. Ализаде, “Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями”, Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2017, №2, 17-36.
  6. Г.В. Намсараева, “Линейные обратные задачи для некоторых аналогов уравнения Буссинеска”, Математические заметки СВФУ, 21:2 (2014), 47-59.
  7. L. Pulkina, “Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations”, EJDE, 2014:116 (2014), 1-49.
  8. L.S. Pulkina, A.B. Beylin, “Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar”, EJDE, 2019:29 (2019), 1-9.
  9. А.А. Алсыкова, “О разрешимости пространственно-нелокальных краевых задач для некоторых аналогов уравнения Буссинеска”, Математические заметки СВФУ, 23:1 (2016), 3-11.
  10. Н.С. Попов, “О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида”, Математические заметки СВФУ, 21:2 (2014), 69-80.
  11. Z.P. Bazant, M. Jirasek, “Nonlocal Integral Formulation of Plasticity And Damage: Survey of Progress”, American Society of Civil Engineers. Journal of Engineering Mechanics, 128:11 (2002), 1119-1149.
  12. J.R. Cannon, “The solution of the heat equation subject to the specification of energy”, Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155-160.
  13. Л.И. Камынин, “Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:6 (1964), 1006-1024.
  14. Н.И. Ионкин, “Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием”, Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294-304.
  15. А.А. Керефов, М.Х. Шхануков-Лафишев, Р.С. Кулиев, “Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова”, Неклассические уравнения математической физики, Труды семинара, посвященного 60-летию проф. В.Н. Врагова (Новосибирск, 3-5 октября 2005), Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2005, 152-159.
  16. А.И. Кожанов, “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера”, Дифференц. уравнения, 40:6 (2004), 763-774.
  17. Н.И. Иванчов, “Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями”, Дифференц. уравнения, 40:4 (2004), 547-564.
  18. J.R. Cannon, J. van der Hoek, “The classical solution of the one-dimensional two-phase stefan problem with energy specification”, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 130:1 (1982), 385-398.
  19. J.R. Cannon, Y. Lin, “Determination of a parameter in some quasi-linear parabolic differential equations”, Inverse Problems, 4:1 (1988), 35-45.
  20. В.Л. Камынин, “Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения”, Матем. заметки, 94:2 (2013), 207-217.
  21. В.И. Жегалов, А.Н. Миронов, Е.А. Уткина, Уравнения с доминирующей частной производной, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, 2014, ISBN: 978-5-00019-305-1, 385 с.
  22. В.И. Жегалов, “Об одной задаче для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 23:4 (2019), 771-776.
  23. Е.А. Уткина, “О единственности решения задач с нормальными производными в граничных условиях для уравнения Буссинеска-Лява”, Изв. вузов. Матем., 2017, №7, 67-73.
  24. Л.С. Пулькина, “Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода”, Изв. вузов. Матем., 2012, №4, 74-83.
  25. А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина, “О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений”, Дифференц. уравнения, 42:9 (2006), 1166-1179.
  26. А.И. Кожанов, А.В. Дюжева, “Нелокальные задачи с интегральным смещением для параболических уравнений высокого порядка”, Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика, 36 (2021), 14-28.
  27. А.И. Кожанов, А.В. Дюжева, “Вторая начально-краевая задача с интегральным смещением для гиперболических и параболических уравнений второго порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 25:3 (2021), 423-434.
  28. Л. Гординг, Задача Коши для гиперболических уравнений, Издательство иностранной литературы, М., 1961.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».