Вестник российских университетов. Математика

Рассматриваются два отображения, действующие между метрическими пространствами, и такие, что одно из них является накрывающим, а второе удовлетворяет усиленному условию Липшица. При этом предполагается, что константа накрывания и константа Липшица у этих отображений совпадают. Доказывается результат о существовании точки совпадения однозначных отображений в случае, когда ряд из итераций функции, обеспечивающей выполнение усиленного условия Липшица, сходится. Доказывается аналогичный результат для многозначных отображений. Приводятся примеры функций, для которых ряд из их итераций сходится или расходится.

Исследуются свойства  $f$–квазиметрического пространства $(X,\rho).$ Расстояние $\rho$ в таком пространстве удовлетворяет аксиоме тождества и обобщенному неравенству треугольника: $\rho(x,z) \leq f(\rho(x,y),\rho(y,z))$ для любых $x,y,z\in X.$ Здесь функция $f$ положительна при положительных аргументах, непрерывна в точке $(0,0)$ и $f(0,0)=0.$ Симметричность расстояния не предполагается. Стандартно определяется топология на $X,$ порождаемая расстоянием  $\rho.$ Исследуются свойства сходящихся последовательностей и секвенциально компактных множеств. Получены условия, при которых сходимость в себе (фундаментальность) необходима для сходимости последовательности. Рассмотрена связь скоростей сходимости фундаментальной последовательности и ее сходимости в себе. Введено понятие секвенциально предкомпактного множества. Получены условия, при которых замыкание секвенциально предкомпактного множества является секвенциально компактным.

Рассматриваются модели однородных или структурированных (по виду, возрасту или иному признаку) популяций, динамика которых при отсутствии эксплуатации задана системой разностных уравнений
$x(k+1) = F\big(k, x(k)\big),$\!
где $x(k) = \big(x_1(k), \ldots, x_n(k)\big),$ $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$~--- численность $i$-го вида или возрастного класса популяции в момент времени $k=0,1,2,\ldots;$ $F(k,x)=\bigl(F_1(k,x), \ldots, F_n(k,x)\bigr),$ $F_i(k,x)$~--- вещественные функции, которые определены и непрерывны на множестве $\mathbb{R}^n_+ \doteq\big\{x\in\mathbb{R}^n : x_1\geqslant0, \ldots, x_n\geqslant0\big\}.$

Предполагается, что в моменты времени $k=1, 2, \ldots$ популяция подвержена промысловому воздействию $u(k)=(u_1(k),\ldots,u_n(k))\in[0, 1]^n.$ Тогда исследуется модель эксплуатируемой популяции, заданной системой разностных уравнений
$X(k+1) = F\bigl(k,(1-u(k))X(k)\bigr), \quad k=1, 2, \ldots,$
где $X(k)=\big(X_1(k), \ldots, X_n(k)\big),$
$(1-u(k))X(k)=\big((1-u_1(k))X_1(k),\ldots,(1-u_n(k))X_n(k)\big),$ $X_i(k)$ и ${(1-u_i(k))X_i(k)}$~---
количество ресурса $i$-го вида до и после сбора в момент $k$ соответственно, $i=1,\ldots,n.$

Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном промежутке времени при периодическом режиме эксплуатации, при
котором достигаются наибольшие значения характеристик сбора. Первая из таких характеристик~--- средняя временная выгода, заданная пределом при
$k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Другая~--- эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$
отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Результаты работы проиллюстрированы
на примерах однородной эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением, и структурированной популяции, состоящей из двух видов.

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) и теоремы Куна-Таккера (TKT) в недифференциальной форме в нелинейной (невыпуклой) задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением-равенством. Существование решения задачи априори не предполагается. Ограничение-равенство содержит аддитивно входящий в него параметр, что обеспечивает возможность применения для исследования задачи "нелинейного варианта" метода возмущений.  Основное предназначение регуляризованных ПЛ и TKT - устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) в рассматриваемой задаче. Их можно трактовать как ОМП-образующие (регуляризирующие) операторы, ставящие в соответствие каждому набору исходных данных задачи субминималь (минималь) ее отвечающего этому набору регулярного  модифицированного функционала Лагранжа (МФЛ), двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с процедурой стабилизации по Тихонову двойственной задачи. Конструкция МФЛ полностью определяется видом "нелинейных" субдифференциалов (проксимальный субградиент, субдифференциал Фреше) полунепрерывной снизу функции значений как функции параметра задачи. Регуляризованные ПЛ и TKT "преодолевают" свойства некорректности классических аналогов, составляя тем самым теоретическую основу для создания устойчивых методов решения нелинейных задач оптимального управления. В частном случае, когда задача регулярна в смысле существования в ней обобщенного вектора Куна-Таккера, а ее исходные данные аффинным образом зависят от управления, предельный переход в соотношениях регуляризованной TKT ведет к условиям оптимальности в форме соответствующих недифференциальной TKT и принципа максимума Понтрягина.