Том 511, № 1 (2023)

В статье формулируются основания современного математического образования, которые отвечают новым целям и задачам математического образования, продиктованным изменениями в самой математике за последний век, изменением ее роли в современном цифровом мире, изменениями самого мира. Описывается базовая система понятий, начиная с которой строятся вся современная математика конечного и начальное математическое образование. Для всех уровней математического образования и для всех обучающихся принципиальным является самостоятельное, при помощи и поддержке мотивирующего учителя, решение задач, которые ученику не известно, как решать. Существенную роль играют компьютерный математический эксперимент и передача компьютеру задач, способ решения которых найден учащимся. В статье также описывается реальное состояние дел в российской массовой школе и предлагаются необходимые действия для реализации сформулированных принципов современного математического образования в России. Описаны достигнутые результаты в этом направлении. Большинство статей данного выпуска – демонстрация и детализация реализации сформулированных принципов.

В последние десятилетия в ряде российских школ реализуется уникальная на мировом уровне программа математического образования для начальной школы. В ней мир школьной арифметики радикально расширяется за счет базовых объектов современной математики и информатики. Эти объекты и операции над ними наглядны, что делает их намного более доступными, чем в традиционной арифметике. Расширяется и спектр видов деятельности за счет, например, введения стратегий перебора, выигрыша в игре, алгоритмов (тоже действующих в наглядной среде). Одновременно меняется позиция ученика – он самостоятельно открывает и строит математику, постоянно решает совершенно новые для него, но посильные задачи, которые “неизвестно-как-решать”. Ресурсы учащегося экономятся за счет применения компьютера для выполнения рутинных арифметических действий, учеником уже открытых и понятых. В работе подробно представлена реализация данного подхода, иллюстрируемая реальными примерами заданий, представительными для рассматриваемой программы и подхода в целом.

В работе детально рассматривается класс учебных задач из курса математики и информатики для начальной школы. Этот курс реализуется в течение последних десятилетий коллективом под руководством академика А.Л. Семенова. В задачах требуется найти, построить, перечислить все объекты, удовлетворяющие некоторой системе условий. Эту деятельность ученик ведет в наглядном мире базовых объектов дискретной математики и информатики: цепочек (конечных последовательностей символов), мешков (мультимножеств), таблиц, а также высказываний, содержащих кванторы. Рассматривается связь этих задач с задачами вычислительной комбинаторики (“подсчета количества вариантов”), переборными задачами теории сложности вычислений, а также с “большими идеями”, т.е. общекогнитивными стратегиями и их присвоением учащимися. Содержание образования при нашем подходе оказывается более адекватным задачам современного мира.

Математический эксперимент всегда был ключевым источником для математического открытия. За последние 50 лет благодаря цифровым технологиям его роль в математических исследованиях существенно выросла. Цифровые технологии открыли принципиально новые возможности для эксперимента в математическом образовании, в приближении для основной массы обучающихся математического образования к математическому исследованию. Такое приближение особенно желательно именно в современном мире, где оно становится возможным благодаря цифровым технологиям. В статье обсуждаются результаты работы авторов в течение последних десятилетий по применению компьютерного математического эксперимента на разных ступенях школьного и университетского образования. Особое внимание уделяется средам динамической геометрии. Также рассматриваются возможности использования систем компьютерной алгебры. Подробно рассматривается проект работы школьников над обобщениями теоремы Наполеона.

Математическое образование, как массовое образование, так и преподавание математики нематематикам на университетском уровне, находятся в ужасающем состоянии и быстро деградируют. Мы убеждены, что преподавание математики нематематикам должно быть полностью реформировано как в том, что касается его содержания, так и, в особенности, стиля. С традиционными подходами такой переход займет десятилетия, с непредсказуемыми результатами. Этого времени у нас нет. Появление систем Компьютерной Алгебры дает математическому сообществу шанс на изменение этой ситуации. В настоящей статье мы описываем один проект такого рода реформы, осуществленный в Санкт-Петербургском государственном университете.