Analysis of the Methodological Basis of Aircraft Flight Path Control

Full Text

Введение

В Международной организации гражданской авиации важным направлением является разработка новых подходов к построению и выдерживанию эффективных траекторий полета ВС [Глобальный аэронавигационный план…, 2013].

В настоящее время произошел переход от интуитивного эвристического метода создания систем устройств к их систематическому созданию методами оптимального синтеза. На ЭВМ создается модель системы, исследуется, упрощается, затем воплощается в жизнь. Основное требование при реализации системы заключается в приближении к расчетным характеристикам. На сегодняшний день методы теории оптимального управления получают широкое распространение и развитие в различных областях науки и техники. Это связано с бурным развитием средств обработки информации, разработкой и внедрением радиотехнических систем, в которых используются новейшие достижения науки.

Некоторая свобода в выборе критерия оптимизации при использовании теории оптимального управления дает возможность разработчику наиболее полно учитывать влияющие факторы и условия функционирования системы [Харисов и др., 1996].

Основной задачей навигационного комплекса является наилучшая (в том или ином смысле) обработка поступающей статистической информации. Для синтеза подобных систем широко используются статистические ТОФ и ТОУ. Различным аспектам этих теорий посвящена обширная литература [Методы…, 2016; Сейдж и др., 1982; Степанов, 2010; Степанов, 2012; Теория автоматического управления…, 1986; Тихонов и др., 1991; Харисов и др., 1996; Ярлыков и др., 1993; Ярлыков, 1985].

В ТОУ кроме информационного процесса полагается заданным объект управления, на выходе которого необходимо сформировать управляемый процесс, наилучшим образом отслеживающий заданный информационный процесс. Таким образом, в ТОУ при синтезе накладываются дополнительные ограничения на синтезируемую систему, что сужает область выбора наилучшего решения, а, следовательно, может привести лишь к ухудшению показателей качества по сравнению с ТОФ. Еще одна особенность в постановках задачи синтеза в ТОФ и ТОУ – это критерии выбора наилучшего решения. Различают два типа критериев: интегральный и локальный [Харисов и др., 1996].

Цель работы – анализ методологических основ синтеза алгоритмов функционирования системы траекторного управления навигационного комплекса для выдерживания заданной траектории полета воздушного судна.

Обзор литературы

Основные проблемы, связанные с программированием четырехмерных маршрутов и траекторий полета решены в [Киселев и др., 2015; Maolaaisha, 2015; Multiphase…, 2013; Rub´en, 2015; Toratani, 2016; Wickramasinghe et al., 2012]. В ожидаемых условиях эксплуатации на полет ВС по маршруту могут влиять различные факторы, которые затрудняют реализацию программных траекторий. В частности, боковой и встречный ветер, навигационные определения в условиях шумов и помех, наличие запретных зон, сегрегированное воздушное пространство и т. д. [Алгоритмы управления траекториями…, 2021; Ерохин, 2019; Ерохин и др., 2023]. В работах [Киселев и др., 2015; Maolaaisha, 2015; Multiphase…, 2013; Rub´en, 2015; Wickramasinghe et al., 2012] предложены алгоритмы функционирования системы траекторного управления в детерминированной постановке с учетом параметров ветра. В [Киселев и др., 2015; Maolaaisha, 2015] предложено алгоритмическое обеспечение для построения траекторий с целью минимизации расхода топлива в зависимости от направления ветра. В [Wickramasinghe et al., 2012] рассмотрены методы оптимального управления траекторией полета с учетом аэродинамической конфигурации, атмосферы, ветра и соответствующих ограничений, которые возникают при облете запретных секторов, а также процедур вылета и захода на посадку. В [Rub´en, 2015] рассмотрен процесс принятия решения при определении оптимальной последовательности промежуточных точек маршрута, а также интервалов времени, в которое возможно переполнение трафика навигационных опорных точек (НОТ). В [Multiphase…, 2013] предложен метод оптимизации траектории в воздушном пространстве аэропорта, реализация которого возможна в реальном времени. Отличительной особенностью результатов, представленных в работах [Киселев и др., 2015; Maolaaisha, 2015; Rub´en, 2015; Multiphase…, 2013; Wickramasinghe et al., 2012], является детерминированный подход к синтезу алгоритмов, т.е. при условии знания истинных значений фазовых координат. В работах [Заюд Фади и др., 2009; Меркулов и др., 2018; Методы…, 2016] предложены алгоритмы управления на основе оценки параметров траекторного движения в комплексных системах навигации. В [Воронов и др., 2011; Формирование…, 2014] изложены результаты разработки и исследования характеристик алгоритма управления траекторией и многокритериальной оптимизацией ее параметров.

При этом актуальной научно-исследовательской задачей остается анализ методологических основ оптимального управления траекторией полета ВС в стохастической постановке.

В данной работе предлагается алгоритм проектирования управления отслеживанием траектории, основанный на методах ТОУ с использованием подходов ТОФ для оценки параметров траекторного движения.

Модель траекторного движения воздушного судна

При разработке и исследовании алгоритмов управления траекторией большое значение имеет модель полета ВС. В работе использовалась модель с вектором состояния вида [Киселев и др., 2015]:

$X={\left|x,y,z,V,\psi ,m\right|}^T$, (1)

где x, y, z – координаты ВС в системе координат OXYZ; V – истинная воздушная скорость; ψ – курс ВС; m – масса.

В общем случае каждый этап и режим полёта ВС может характеризоваться различной совокупностью параметров и описываться различной системой уравнений. Динамика (1) описывается системой дифференциальных уравнений [Киселев и др., 2015]:

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\equiv \left(\begin{array}{l}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \dot{V}\\ \psi \\ \dot{m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}V\cos \psi \cos \vartheta +w_x\\ V\sin \psi \cos \vartheta +w_y\\ V\sin \vartheta +w_z\\ (T-d)/m-g_0\sin \vartheta \\ L\sin \varphi /\left(mV\right)\\ -\eta T\end{array}\right)$, (2)

где $\vartheta$ – угол наклона траектории ВС; g₀ – ускорение свободного падения; φ – угол крена; η – удельный расход топлива по тяге; T – сила тяги двигателя; d – сила лобового сопротивления; L – аэродинамическая подъемная сила; $w=\left|w_x,w_y,w_z\right|$ – вектор скорости ветра.

Методика и формулы расчета значений η, L и d приведены в [Nuic, 2014]. Параметры модели полета ВС проиллюстрированы на рис. 1.

Рисунок 1 – Параметры траекторного движения

С помощью вектора состояния (1) в пространстве состояний задаются положение ВС, характер его движения, характер функционирования его систем и т. д.

Постановка задачи

Пусть имеется вектор состояния ${\overline{\lambda }}_u$, характеризующий информационный процесс. В терминах ТОУ $\overline{{\lambda }_u}$ – заданная траектория [Харисов и др., 1996], динамику переменных вектора ${\overline{\lambda }}_u$ представим в виде разностного уравнения:

${\overline{\lambda }}_{u,v}={Ф}_{u,v}{\overline{\lambda }}_{u,v-1}+G_{u,v}{\overline{W}}_{u,v-1}$, (3)

где $\nu =\overline{\mathrm{0,}N-1}$ – временной индекс; N – число отсчетов, ${Ф}_{u,v}, G_{u,v}$ – матрицы размерности n×n и n×l; ${\overline{W}}_{u,v}$ – l-мерный вектор дискретных белых гауссовских шумов (ДБГШ) с известными вероятностными характеристиками.

Управляемая траектория отображается вектором ${\overline{\lambda }}_{y,v}$, динамику которого представим в виде:

${\overline{\lambda }}_{y,v}={Ф}_{y,v}{\overline{\lambda }}_{y,v-1}+B_y{\overline{u}}_{v-1}+G_{y,v}{\overline{w}}_{y,v-1}$, (4)

где ${\overline{u}}_{v-1}$ – p-мерный вектор управляющих сигналов; $u_v\in U$ – множество допустимых значений управлений; ${\overline{w}}_{y,v-1}$ – q-мерный вектор ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей Ψ_y.

В соответствии с подходами ТОФ и ТОУ вектор наблюдений ${\overline{\xi }}_v$ представим в виде:

${\overline{\xi }}_v=H_{\nu }{\overline{\lambda }}_{\nu }+{\overline{n}}_{\nu }$, (5)

где ${\xi }_{\mathit{\nu }}\mathit{=}{\left[{\xi }_{1,\nu },..{\xi }_{m,\nu }\right]}^{\mathit{T}}$ – m – количество НОТ; n_ν – m-мерный вектор ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей V; полагаем, что шумы ${\overline{w}}_{u,v}$ и ${\overline{n}}_v$ независимы; H_u,v – матрица наблюдений размерности m×n:

$H_{\nu }=\left[\begin{array}{cccc}-\cos \left({\alpha }_1\right)& -\cos \left({\beta }_1\right)& -\cos \left({\gamma }_1\right)& 1\\ -\cos \left({\alpha }_2\right)& -\cos \left({\beta }_2\right)& -\cos \left({\gamma }_2\right)& 1\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -\cos \left({\alpha }_N\right)& -\cos \left({\beta }_N\right)& -\cos \left({\gamma }_N\right)& 1\end{array}\right]$,

где $\cos \left({\alpha }_i\right)=\frac{x_{i,\nu }-x_{\nu }}{D_{i,\nu }}$, $\cos \left({\beta }_i\right)=\frac{y_{i,\nu }-y_{\nu }}{D_{i,\nu }}$, $\cos \left({\gamma }_i\right)=\frac{z_{i,\nu }-z_{\nu }}{D_{i,\nu }}$ – направляющие косинусы линии визирования ВС – i-й НОТ, x_i, y_i, z_i – координаты i-ой НОТ; D_i,v – значение дальности.

В [Харисов и др., 1996] показано, что управляемая траектория в v-ый момент времени равна оптимальной экстраполированной оценке требуемой траектории $x_{\mathit{\text{у,}}\mathit{\nu }}={\tilde{\mathrm{x}}}_{\mathit{\text{т,}}\nu }$. Эта экстраполированная оценка формируется по наблюдениям ${\overline{\xi }}_1^{v-1}$, полученным до момента времени v.

Частные задачи оптимальной фильтрации и оптимального управления возникают чаще всего в результате искусственного разделения общей задачи оптимального управления, согласно утверждению теоремы разделения. Автономная задача оптимального управления формулируется следующим образом:

1. С учетом теоремы разделения структурная схема оптимальной системы совместного оценивания и управления делится на две части, как показано на рис. 2.

Рисунок 2 – Структурная схема оптимального оценивания и управления с учетом теоремы разделения

2. Считается, что управления ${\overline{u}}_{\mathit{\nu }}\mathit{,}\mathit{ }\nu \mathit{=}\overline{\mathit{1}\mathit{,}\mathit{N}}$, входящие в уравнения динамики и наблюдения, заданы (их определяет устройство управления). В этом случае можно записать

${\overline{\xi }}_{\nu }=s_{\nu }({\overline{\lambda }}_{\nu },{\overline{u}}_{\nu })+{\overline{n}}_{\xi \nu }$, ${\overline{\lambda }}_{\nu }=g_{\nu }({\overline{\lambda }}_{\nu -1},{\overline{u}}_{\nu })+{\overline{n}}_{\lambda \nu }$.         

3. Вводится оценка ${\widehat{\overline{\lambda }}}_{\nu }$ и задается критерий оценивания, основанный на функции потерь $c_{\nu }({\overline{\lambda }}_v,{\widehat{\overline{\lambda }}}_v)$, в задачах оптимальной фильтрации обычно используют только локальный критерий.

${\widehat{\overline{\lambda }}}_{\nu }={\underset{{\overline{u}}_{\nu }\in U}{\min }}^{-1}M\left[c_{\nu }\right({\overline{\lambda }}_v,{\overline{u}}_v\left)\right]$, (6)

где $M\left\{c_{\nu }\left({\overline{\lambda }}_{\nu },{\overline{u}}_{\nu }\right)\right\}=\underset{\overline{\lambda }}{\int }\underset{\overline{\xi }}{\int }{c}_{\nu }\left({\overline{\lambda }}_{\nu },{\overline{u}}_{\nu }\right)p({\overline{\lambda }}_{\nu },{\overline{\xi }}_1^{\nu })d{\overline{\lambda }}_{\nu }d{\overline{\xi }}_1^{\nu }$.

4. Считается, что известно не ${\overline{\xi }}_{\nu }$ (уравнение наблюдения отсутствует), а ${\overline{\lambda }}_{\nu }$, или часть компонент ${\overline{\lambda }}_{\nu }$. В действительности вместо них используется оценка, полученная в результате решения автономной задачи фильтрации.

Алгоритм управления траекторий

Для отслеживания заданного маршрута полета ВС по программной траектории необходимо управлять его положением [Меркулов и др., 2018]. В нашем случае программной траекторией полета ВС является вектор заданных координат x_З, управляемой траекторией является фактическая линия пути, как показано на рисунке 3. Отклонение управляемой траектории от заданной обозначим в виде ${\epsilon }_{\nu }=x_{З,\nu }-x_{У,\nu }$ (рис. 3).

Рисунок 3 – Заданная и управляемая траектории полета ВС

В соответствии с (2) вектор состояния, включающий переменные заданной траектории, имеет вид $x_{З}={\left|x_{з},y_{з},z_{з},V_{з},{\psi }_{з},m_{з}\right|}^T$, уравнение динамики представим выражением:

$x_{З,\nu +1}={Ф}_{З,\nu /\nu +1}{x}_{З,\nu }$, (7)

где ${\Phi }_{З,\nu }=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \Delta t\cos \psi \cos \vartheta & 0& 0\\ 0& 1& 0& \Delta t\sin \psi \cos \vartheta & 0& 0\\ 0& 0& 1& \Delta t\sin \vartheta & 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$; Δt – дискретность счета.

Вектор управляемых фазовых координат имеет вид $x_{У}={\left|x_{У},y_{У},z_{У},V_{У},{\psi }_{У}\right|}^T$. В работах [Ерохин, 2019; Степанов, 2010; Степанов, 2012] обоснован вектор измеряемых параметров применительно к многопозиционным радиотехническим системам

$x_{и}={\left|x_{у},V_x,y_{у},V_y,z_{у},V_z,\Delta \tau ,V_{\Delta \tau }\right|}^T$, (8)

включающий некоторые переменные вектора x_y, составляющие вектора скорости V_x, V_y, V_z, а также параметры бортового эталона времени и частоты Δτ и V_Δτ.

Для выдерживания заданного маршрута полета требуется формирование управляющих сигналов u_v отслеживания заданной траектории полета x_{З, v} наилучшим образом. В работе показатель качества выдерживания маршрута полета представлен в виде минимизации отклонения управляемой траектории относительно заданной [Ерохин, 2019; Ерохин, 2018; Меркулов и др., 2018; Харисов и др., 1996]:

$J=\underset{u_1^{N-1}\in U}{\min }M\left[\sum _{\nu =1}^N\right\{{(x_{З,v}-x_{У,v})}^T{Q}_{\nu }(x_{З,v}-x_{У,v})+u_{\nu }^T{E}_{\nu }{u}_{\nu }\left\}\right]=\underset{u_1^{N-1}\in U}{\min }M[\sum _{\nu =1}^N{c}_{\nu }(x_{З,v},x_{У,v},u_{\nu }^{})]$, (9)

где Q_v – положительно определенная матрица штрафов; E_v – положительно определенная матрица, задающая вес мощности управляющих сигналов в общем показателе качества; c_v (x_{З, v}, x_{У, v}, u_v) – обобщенная функция потерь.

При синтезе алгоритмов локально-оптимального управления используют критерий оптимальности:

$J_{\nu }=M\left\{c_{\nu }\right(x_{З,v},x_{У,v},u_{\nu }\left)\right\}$. (10)

Данный критерий называется текущим (локальным), так как требуется обеспечить экстремум показателя качества в каждый текущий момент времени.

Динамика управляемой траектории представлена уравнением:

$x_{У,\nu +1}=g(x_{У,\nu },u_{\nu })+G_{\nu /\nu +1}{n}_{У,\nu }={Ф}_{У,\nu /\nu +1}{x}_{У,\nu }+B_{\nu /\nu +1}{u}_{\nu }+G_{\nu /\nu +1}{n}_{У,\nu }$,

где g_v (x_v–1, u_v) – n-мерная функция векторов x_{У, v} и u_v; G_v/v+1 – матрица ограничений на шумы системы; B_v – вектор коэффициентов управляющих воздействий системы; n_{У, v} – вектор ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей Ψ_У.

В работах [Меркулов и др., 2018; Харисов и др., 1996] предложен подход, основанный на введении вектора состояния $x={(x_{З},x_{У})}^T$ и соответствующего уравнения динамики

$x_{\nu +1}={Ф}_{\nu /\nu +1}{x}_{\nu }+B_{\nu }{u}_{\nu }+G_{\nu /\nu +1}{n}_{x,\nu }$, (11)

где входящие в уравнение матрицы и вектора представим в виде:

$Ф=\left|\begin{array}{cc}{Ф}_{З}& 0\\ 0& {Ф}_{У}\end{array}\right|, G=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& G_{У}\end{array}\right|, B=\left|\begin{array}{c}0\\ B_{У}\end{array}\right|, n=\left|\begin{array}{c}0\\ n_{У}\end{array}\right|$.

В сформулированной в статье постановке задачи требуется сформировать вектор управления $u_{\nu }=u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)$, оптимальный по критерию [Дегтярев и др., 1991; Меркулов и др., 2018]

$\begin{array}{c}{u}_{\nu }=\underset{u_{\nu }\in U}{\mathrm{argmin}}{J}_{\nu }=\underset{u_{\nu }\in U}{\mathrm{argmin}}\left\{\underset{x}{\int }{c}_{\nu }\left(x_{\nu },u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)\right)p\left(x_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1})d{x}_{\nu }\right\}=\\ =\underset{u_{\nu }\in U}{\mathrm{argmin}}M\left\{c_{\nu }\left(x_{\nu },u_{\nu }\right)\left|{}_{{\xi }_1^{\nu -1}}\right.\right\}\end{array}$ (12)

где $J_{\nu }=\underset{U_1^{T-1}}{\min }M\left\{c_{\nu }\right(x_{\nu }^{},u_{\nu }\left)\right\}$.

Представим показатель качества в виде

$J_{\nu }=M\left\{c_{\nu }\left(x_{\nu },u_{\nu }\right)\right\}=\underset{x}{\int }\underset{\xi }{\int }{c}_{\nu }\left(x_{\nu },u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)\right)p(x_{\nu },{\xi }_1^{\nu -1})d{x}_{\nu }d{\xi }_1^{\nu -1}$. (13)

Входящую в (13) совместную плотность вероятности (ПВ) $p(x_{\nu },{\xi }_1^{\nu -1})$ представим в виде произведения

$p(x_{\nu },{\xi }_1^{\nu -1})=p\left(x_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1}\left)p\right({\xi }_1^{\nu -1})$,

которое является исходным выражением для получения алгоритма обработки информации.

В этом случае

$J_{\nu }=\underset{\xi }{\int }\left[\underset{x}{\int }{c}_{\nu }\left(x_{\nu },u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)\right)p\left(x_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1})d{x}_{\nu }\right]p\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)d{\xi }_1^{\nu -1}$. (14)

Для определения ПВ воспользуемся соотношениями оптимальной фильтрации Р. Л. Стратоновича [Стратонович, 1966]

$\left\{\begin{array}{l}p\left(x_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1})={\tilde{p}}_{\nu }(x_{\nu })=\underset{x}{\int }p\left(x_{\nu }\right|x_{\nu -1},u_{\nu })p(x_{\nu -1}\left|{\xi }_1^{\nu -1}\right)d{x}_{\nu -1},\\ p_{\nu }\left(x_{\nu }\right)=c_{\nu }p\left({\xi }_{\nu }\right|x_{\nu }\left){\tilde{p}}_{\nu }\right(x_{\nu }).\end{array}\right.$ (15)

В соответствии с выражениями (5), (11) условная ПВ является нормальной: $p\left(x_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1})=N\left\{{\tilde{x}}_{\nu },{\tilde{P}}_{\nu }\right\}$. Исходя из этого, параметрами нормального закона являются математическое ожидание вектора и матрица дисперсий, которые находятся с помощью дискретного фильтра Калмана [Алешечкин и др., 2016; Меркулов и др., 2018; Харисов и др., 1996]:

${\widehat{x}}_{\nu }={\tilde{x}}_{\nu }+K_{\nu }\left[{\xi }_{\nu }-H_{\nu }{\tilde{x}}_{\nu }\right]$, (16)

где ${\widehat{x}}_{\nu }$ – апостериорная оценка вектора состояния x_v; ${\tilde{x}}_{\nu }={Ф}_{\nu /\nu -1}{\widehat{x}}_{\nu -1}+B_{\nu }{u}_{\nu }$ – априорная оценка вектора состояния x_v, K_v – матричный коэффициент усиления фильтра Калмана

$K_{\nu }=P_{\nu }{H}_{\nu }^T{V}_{\nu }^{-1}$, (17)

в котором ковариационная матрица ошибок фильтрации P_v–1 определяется по формуле

$P_{\nu }^{-1}={\tilde{P}}_{\nu }^{-1}+H_{\nu }^T{V}_{\nu }^{-1}{H}_{\nu }$, (18)

где ${\tilde{P}}_{\nu }$ – экстраполированная ковариационная матрица ошибок фильтрации

${\tilde{P}}_{\nu }^{}={Ф}_{\nu /\nu -1}{P}_{\nu -1}{Ф}_{\nu /\nu -1}^T+G_{\nu /\nu -1}{Q}_{\nu }{G}_{\nu /\nu -1}^T$. (19)

Тогда в соответствии с (14) – (19) получаем:

$\begin{array}{c}{J}_{\nu }=M\left\{c_{\nu }\left({х}_{\nu },u_{\nu }\right)\left|{}_{{\xi }_1^{\nu -1}}\right.\right\}=\underset{х}{\int }{c}_{\nu }\left({х}_{\nu },u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)\right)p\left({х}_{\nu }\right|{\xi }_1^{\nu -1})d{х}_{\nu }=\\ =\underset{х}{\int }{c}_{\nu }\left({х}_{\nu },u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)\right)N\left({\widetilde{х}}_{\nu }\right|{\tilde{P}}_{\nu })d{х}_{у,\nu }={\widetilde{х}}_{\nu }^T{Q}_{\nu }{\widetilde{х}}_{\nu }+tr\left\{{\tilde{Q}}_{\nu }{\tilde{P}}_{\nu }\right\}+u_{\nu }^T{E}_{\nu }{u}_{\nu }=\\ {({Ф}_{\nu /\nu -1}{\widehat{х}}_{\nu -1}+B_{\nu }{u}_{\nu })}^T={\tilde{Q}}_{\nu }({Ф}_{\nu /\nu -1}{\widehat{х}}_{\nu -1}+B_{\nu }{u}_{\nu })+tr\left\{{\tilde{Q}}_{\nu }{\tilde{P}}_{\nu }\right\}+u_{\nu }^T{E}_{\nu }{u}_{\nu },\end{array}$

где tr – след матрицы.

В [Меркулов и др., 2018; Сейдж и др., 1982; Харисов и др., 1996] показано, что $tr\left\{{\tilde{Q}}_{\nu }{\tilde{P}}_{\nu }\right\}=const\left(u_{\nu }\right)$ не зависит от управления, тогда оптимальное управление определяется путем решения уравнения:

$\frac{\partial J_{\nu }}{\partial u_{\nu }}=2B_{\nu }^T{\tilde{Q}}_{\nu }({Ф}_{\nu /\nu -1}{\widehat{x}}_{\nu -1}+B_{\nu }{u}_{\nu })+2E_{\nu }{u}_{\nu }=0$ (20)

и записывается следующим образом:

$u_{\nu }={(B_{\nu }^T{\tilde{Q}}_{\nu }{B}_{\nu }+E_{\nu })}^{-1}{B}_{\nu }^T{\tilde{Q}}_{\nu }[{Ф}_{З,\nu /\nu -1}{\widehat{x}}_{З,\nu -1}-{Ф}_{У,\nu /\nu -1}{\widehat{x}}_{У,\nu -1}]=L_{\nu }[{\widehat{x}}_{З,\nu -1}-{\widehat{x}}_{у,\nu -1}]$, (21)

где $L_{\nu }={(B_{\nu }^T{\tilde{Q}}_{\nu }{B}_{\nu }+E_{\nu })}^{-1}{B}_{\nu }^T{\tilde{Q}}_{\nu }{Ф}_{\nu /\nu -1}$ – матричный коэффициент.

В подобных системах траекторного управления x_З известная величина, поэтому схема её оценки отсутствует, реализуется система расчета воздействий для формирования управляемой траектории ${\widehat{x}}_{У}$ с целью эффективного отслеживания заданного маршрута. Выражение (21) запишем в виде

$u_{\nu }=-{(B_{\nu }^T{Q}_{\nu }{B}_{\nu }+E_{\nu })}^{-1}{B}_{\nu }^T{Q}_{\nu }{Ф}_{\nu /\nu -1}{\widehat{\epsilon }}_{\nu -1}=-L_{\nu }(x_{З,\nu -1}-{\widehat{x}}_{У,\nu -1})$, (22)

где x_З – известная функция времени, а оценка ${\widehat{x}}_{У}$ формируется на выходе фильтра Калмана (16) – (19).

Соотношения (21) – (22) будут также справедливы и при наличии шумов в уравнении динамики для управляемой траектории. Только вместо детерминированной траектории у $\hat{x}$ необходимо использовать ее Калмановскую оценку при фиксированном управлении, получаемом из уравнения (21).

На основе моделей вектора состояния и наблюдения в навигационном комплексе формируется оценка вектора состояния ${\widehat{x}}_{У}$. На основании сформированных оценок фазовых координат ${\widehat{x}}_{У}$ и требуемых (заданных) фазовых координат x_З в системе траекторного управления формируются сигналы управления $u_{\nu }=u_{\nu }\left({\xi }_1^{\nu -1}\right)$. Использование сигналов управления обеспечивает пилотирование ВС, управление измерителями и элементами навигационного комплекса, условиями измерения информационных параметров сигналов при выполнении поставленной задачи.

Результаты моделирования

Для проверки обоснованности и эффективности алгоритма управления, предложенного в данной статье, выполнялось имитационное моделирование типичного отслеживания траектории полета при определенных условиях с использованием данных, взятых из [Ерохин, 2018].

На рисунке 4 представлены графики среднеквадратического отклонения оценки (СКО) σ_x и σ_y ошибки оценки координат ВС.

Рисунок 4 – СКО ошибки оценки координат ВС х (a) и y (б) при маршрутном полете по заданной траектории

Анализ полученных результатов демонстрирует высокую точность фильтрации координат ВС (σ ≈ 3 м) на основе ГНСС измерений.

На рисунке 5 представлены реализации отклонения текущих координат ВС ${\epsilon }_x=x-\widehat{x}$ и ${\epsilon }_y=y-\widehat{y}$ от заданных значений.

Рисунок 5 – Отклонение текущих координат ВС х (a) и y (б) от заданных

Анализ полученных результатов показывает, что для моделируемой ситуации отклонение параметров управляемой траектории полета от заданных значений не превышает 5 м. Результаты демонстрируют эффективность алгоритма отслеживания заданного маршрута полета и устойчивость к внешним возмущениям.

Заключение

На современном этапе развития методологических основ систем траекторного управления методы теории оптимального управления получают широкое распространение в различных областях и конкретных приложениях. В статье представлены результаты анализа методологических основ управления траекторией полета воздушного судна, которые базируются на методах теории оптимальной фильтрации и теории оптимального управления. Рассмотрены вопросы синтеза и исследования локально-оптимального алгоритма управления траекторией полета при оценке параметров на основе фильтра Калмана при наличии внешних возмущений. Для проверки обоснованности и эффективности методологических основ траекторного управления выполнялось имитационное моделирование типичного отслеживания траектории полета в ожидаемых условиях эксплуатации при наличии внешних возмущений. Анализ полученных результатов показывает, что для моделируемой ситуации отклонение параметров управляемой траектории полета от заданных значений не превышает 5 м. Результаты демонстрируют эффективность алгоритма отслеживания заданного маршрута полета и устойчивость к внешним возмущениям.

Дальнейшие исследования должны быть направлены на изучение способов повышения точности отслеживания заданной траектории полета воздушного судна в условиях воздействия помех, а также рассмотрение возможности применения предлагаемого подхода к оптимизации траектории полета беспилотного летательного аппарата.

About the authors

Nikolay P. Malisov

Author for correspondence.
Email: malisovnik@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9398-2028
Russian Federation, Irkutsk

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure 1 - Parameters of trajectory motion

Download (463KB)

Indexing metadata

3. Figure 2 - Structural scheme of optimal estimation and control taking into account the separation theorem

Download (407KB)

Indexing metadata

4. Figure 3 - Defined and controlled aircraft flight trajectory

Download (211KB)

Indexing metadata

5. Figure 4 - RMS of error in estimation of aircraft coordinates x (a) and y (b) during en-route flight along a given trajectory

Download (257KB)

Indexing metadata

6. Figure 5 - Deviation of current VS coordinates x (a) and y (b) from the specified ones

Download (254KB)

Indexing metadata