Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 85, № 1 (2021)
Статьи
Колмогоровские поперечники пересечений весовых классов Соболева на отрезке с ограничениями на нулевую и первую производные
Аннотация
В работе получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения весовых классов Соболева с ограничениями на первую и нулевую производные; веса имеют степенной вид.Библиография: 35 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):3-26
3-26
Представление решения задачи Коши для одномерного уравнения Шрёдингера с ограниченным гладким потенциалом в виде квазифейнмановских формул
Аннотация
Рассматривается задача Коши для уравнения Шрёдингера, гамильтониан которого равен разности оператора умножения на потенциал и оператора взятия второй производной. В рассматриваемой ситуации потенциалом является вещественная дифференцируемая функция вещественного переменного, ограниченная вместе со своей производной. Это уравнение изучается со времен создания квантовой механики и до сих пор является хорошим модельным примером для демонстрации различных методов решения уравнений в частных производных. В настоящей статье решение задачи Коши для этого уравнения находится с помощью теоремы Ремизова в виде квазифейнмановской формулы. Квазифейнмановская формула – это родственное формулам Фейнмана выражение нового типа, содержащее кратные интегралы бесконечно растущей кратности. По сравнению с фейнмановскими формулами такие формулы легче доказывать, но они дают более длинное выражение для решения. В работе все теоремы снабжены подробными доказательствами; кроме того, авторы сознательно ограничили спектр используемых результатов областью классического математического анализа и элементами вещественного анализа, стараясь избегать общих методов функционального анализа. В результате статья получилась довольно длинной, но зато доступной для читателей, не специализирующихся в области функционального анализа.Библиография: 41 наименование.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):27-65
27-65
Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта
Аннотация
Работа посвящена исследованию слабой разрешимости альфа-модели для дробной вязкоупругой среды Фойгта. В данной модели реологическое соотношение Фойгта рассматривается с левосторонней дробной производной Римана–Лиувилля, что позволяет учитывать память среды. Также в данной модели память рассматривается вдоль траектории движения частиц жидкости, определяемой полем скоростей. В связи с недостаточной гладкостью поля скоростей и, как следствие, невозможностью однозначного определения траектории через поле скоростей для любого начального значения слабое решение изучаемой задачи вводится с использованием регулярных лагранжевых потоков. На основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики доказывается существование слабых решений изучаемой альфа-модели, а также устанавливается сходимость решений альфа-модели к решениям исходной модели при стремлении параметра альфа к нулю.Библиография: 33 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):66-97
66-97
Внутренние оценки решений линейных эллиптических неравенств
Аннотация
Изучается клин решений неравенства $A(u) \ge 0$, где $A$ – линейный эллиптический оператор порядка $2m$, определенный на функциях $n$ переменных. Для элементов клина устанавливается внутренняя оценка вида $\|u; W_p^{2m-1}(\omega)\| \le C(\omega,\Omega) \|u;L(\Omega)\|$, где $\omega$ – компактная подобласть $\Omega$, $W_p^{2 m-1}(\omega)$ – пространство Соболева, $p (n-1) < n$, $ L(\Omega)$ – пространство Лебега суммируемых функций, константа $C(\omega,\Omega)$ не зависит от функции $u$.
Библиография: 15 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):98-117
98-117
О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа
Аннотация
В этой работе мы рассмотрим задачу Коши для одного модельного уравнения третьего порядкав частных производных с нелинейностью вида $|\nabla u|^q$. В работе доказано, что при $q\in(1,3/2]$ локального во времени слабого решения задачи Коши в $\mathbb{R}^3$ нет для достаточно широкого класса начальных функций, в то время как при $q>3/2$ локальное слабое решение существует.Библиография: 30 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):118-153
118-153
О стандартной гипотезе для проективных компактификаций моделей Нерона $3$-мерных абелевых многообразий
Аннотация
Доказано, что стандартная гипотеза Гротендика типа Лефшеца верна для гладкого комплексного проективного $4$-мерного многообразия $X$, расслоенного на абелевы многообразия (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой, если кольцо $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}} (X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})$ эндоморфизмов общего геометрического слоя не является порядком мнимого квадратичного поля. Это условие автоматически выполнено в случаях, когда редукция общего схемного слоя $X_\eta$ в некоторой точке кривой является полустабильной в смысле Гротендика и имеет нечетный торический ранг или общий геометрический слой не является простым абелевым многообразием.Библиография: 43 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2021;85(1):154-186
154-186